Escritura de funciones de onda con espín de un sistema de partículas

Si$\psi_1(x_1)\psi_1(x_2)$es antisimétrico (y entiendo que esto es imposible, ya que el estado fundamental no es degenerado)

El estado fundamental es degenerado, ya que ambas partículas tienen el mismo$n$número cuántico (principal) y por lo tanto la misma energía. En general, para$N$partículas, la función de onda simétrica y antisimétrica se puede construir como

$$\begin{align}\psi_{_S}&\equiv\sqrt{\frac{N_1!\cdots{N}_k!}{N!}}\sum_P\hat{P}\,\phi_{n_1}(\zeta_1)\phi_{n_2}(\zeta_2)\ldots\phi_{n_N}(\zeta_N)\\[0.1in]\psi_{_A}&\equiv\sqrt{\frac{N_1!\cdots{N}_k!}{N!}}\begin{vmatrix}\phi_{n_1}(\zeta_1)&\cdots&\phi_{n_1}(\zeta_N)\\\vdots&&\vdots\\\phi_{n_N}(\zeta_1)&\cdots&\phi_{n_N}(\zeta_N)\end{vmatrix}\end{align}$$ respectivamente, donde $\zeta_i$son los grados de libertad internos y $N_i$es la degeneración de la $i$-ésimo conjunto de partículas degeneradas (para la parte antisimétrica, por lo general $N_1!\cdots{N}_k!=1$). En su caso (dado que siempre puede escribir la función de onda como un producto de las partes espacial y de giro), $$\psi_{_A}=\begin{vmatrix}\psi_1(x_1)&\psi_1(x_2)\\\psi_1(x_1)&\psi_1(x_2)\end{vmatrix}=0$$ por lo que la parte antisimétrica espacial es imposible para el estado fundamental. Para los fermiones esto es una consecuencia natural del principio de exclusión de Pauli, ya que permitiría la posibilidad de que dos partículas estuvieran en el mismo estado, dado que la parte de espín sería simétrica.

Ahora, para el primer nivel excitado no hay restricción sobre considerar tanto las partes simétricas como las antisimétricas, de hecho, debe considerar ambas. Al igual que cuando debes considerar las tres posibilidades del estado de giro triplete

$$\chi_{_T}=\begin{cases}\chi_\alpha\\\chi_\beta\\\chi_+\end{cases}$$ puedes considerar ambas soluciones (4 en total, como dices), $$\psi=\begin{cases}\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\psi_1(x_1)\psi_2(x_2)+\psi_1(x_2)\psi_2(x_1)\right]\chi_-\\\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\psi_1(x_1)\psi_2(x_2)-\psi_1(x_2)\psi_2(x_1)\right]\chi_{_T}\end{cases}$$ la cuestión es que este es un conjunto de posibles soluciones , al igual que lo que descubrió para la parte de espín con el estado triplete, las partículas pueden tener este o aquel estado, por lo general, cuando se trata de fermiones, la única restricción a tener en cuenta es Pauli principio de exclusión. Por lo tanto, puede considerarlos todos para construir la función de onda total.

Ahora, lo que dice Trimok,

Tenga en cuenta que, matemáticamente, puede tener una función de onda antisimétrica total, sin tener una simetría específica en la parte espacial o en la parte de giro, por ejemplo:

$$\psi_1(x_1)\psi_2(x_2) \alpha(s_1)\beta(s_2) - \psi_2(x_1)\psi_1(x_2) \beta(s_1)\alpha(s_2)$$

podría ser engañoso. Esto se puede ver si construye el primer estado excitado a partir del determinante de Slater (la expresión general para$\psi_{_A}$), decir,$n_1=1$,$n_2=2$,$\alpha(1)$,$\beta(2)$, es decir

$$\mathcal{S}_1\equiv\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{vmatrix}\psi_1(x_1)\alpha(1)&\psi_1(x_2)\alpha(2)\\\psi_2(x_1)\beta(1)&\psi_2(x_2)\beta(2)\end{vmatrix}$$ que es la expresión dada por Trimok, pero la cosa, de nuevo, es que debes considerar todas las soluciones posibles para este estado, lo que significa que para $n_1=1$, $n_2=2$, tu puedes tener $$\begin{align}\alpha(1),&\,\alpha(2)\\\beta(1),&\,\beta(2)\\\beta(1),&\,\alpha(2)\\\alpha(1),&\,\beta(2)\end{align}$$ puedes intercambiar $n_1,\,n_2$también por favor (no hay nueva información). Para el primero, el determinante de Slater resalta los tiempos de solución espacial antisimétricos $\chi_\alpha$, el segundo, los tiempos parciales espaciales antisimétricos $\chi_\beta$, pero puedes tomar el tercero, $$\mathcal{S}_2\equiv\frac{1}{2}\begin{vmatrix}\psi_1(x_1)\beta(1)&\psi_1(x_2)\beta(2)\\\psi_2(x_1)\alpha(1)&\psi_2(x_2)\alpha(2)\end{vmatrix}$$ y el cuarto para construir los tiempos parciales antisimétricos $\chi_+$como $\mathcal{S}_1+\mathcal{S}_2$y construir los tiempos parciales simétricos $\chi_-$como $\mathcal{S}_1-\mathcal{S}_2$. Aquí ambos deben tomarse en cuenta debido a la indistinguibilidad de las partículas, considerando $\mathcal{S}_1$o $\mathcal{S}_2$solo es simplemente insuficiente . Como mostré primero, todo esto se soluciona si solo factoriza las partes espacial y de giro de la función de onda y las trata por separado, como lo estaba haciendo.

La elección depende del problema físico fermiónico.

Tomemos por ejemplo el ferromagnetismo.

Queremos minimizar la energía electrostática entre 2 electrones contiguos, y para hacerlo, tendremos que maximizar su distancia media.

Se puede mostrar que, debido al principio de exclusión de Pauli, la distancia media es mayor cuando la parte espacial de la función de onda es antisimétrica (ver, por ejemplo, https://physics.stackexchange.com/a/69267/6316 ).

Pero toda la función de onda tiene que ser antisimétrica, por lo que si la parte espacial de la función de onda es antisimétrica, la parte de giro de la función de onda es simétrica.

Prácticamente, en este problema, los giros son todos hacia arriba o todos hacia abajo. Y esta es una configuración simétrica para la parte de espín de la función de onda. Así que esto es coherente.

Pero, por otro problema físico, con los fermiones, puede que tengas que minimizar otro tipo de energía, que tal vez requiera una parte espacial simétrica de la función de onda. Si es así, debe elegir una parte de espín antisimétrica para la función de onda.

Tenga en cuenta que, matemáticamente, puede tener una función de onda antisimétrica total, sin tener una simetría específica en la parte espacial o en la parte de giro, por ejemplo:

$$\psi_1(x_1)\psi_2(x_2) \alpha(s_1)\beta(s_2) - \psi_2(x_1)\psi_1(x_2) \beta(s_1)\alpha(s_2)$$ .