Demostrando que la ecuación electrónica de Schrödinger no tiene soluciones analíticas cerradas para >1 electrón

En muchos libros se afirma que las soluciones analíticas cerradas de la ecuación electrónica de Schrödinger independiente del tiempo,

H ^ Ψ = mi Ψ ,
existen para el problema de un electrón (p. ej., átomo de hidrógeno, asumiendo la separabilidad del movimiento nuclear y electrónico), pero tales soluciones no existen para sistemas con más de un electrón y, por lo tanto, se requieren métodos de aproximación para resolver la ecuación.

En concreto, al pasar de un sistema de un electrón a un sistema de dos electrones, con núcleos fijos, algo cambia que hace que la solución analítica cerrada de la ecuación ya no sea posible.

Claramente, esto está relacionado con la interacción interelectrónica porque las soluciones analíticas cerradas son posibles para sistemas de partículas que no interactúan. Muchos recursos sugieren que el problema de muchos electrones es "demasiado difícil" de resolver analíticamente, pero no brindan más detalles. Esto plantea la pregunta: ¿será que las soluciones analíticas cerradas no pueden existir, o podrían existir, pero es muy difícil encontrarlas? Y, si no pueden existir, ¿cómo se determina esto?

Una lección de la historia reciente: arxiv.org/abs/1203.5408
Me encontré con un libro llamado "Hermosos modelos 70 años de problemas cuánticos de muchos cuerpos resueltos exactamente". Probablemente puedas encontrar alguna pista allí.
Hecho realmente importante: "forma cerrada" y "analítico" como se usa coloquialmente no tienen sentido. Lo que quieres decir es "expresión subjetivamente simple en términos de funciones que me gustan". ¿La función seno es de forma cerrada? Lo es si dices que lo es, no lo es si dices que no lo es. Después de todo, el seno solo es computable en el límite de un número infinito de operaciones aritméticas, pero le dimos un nombre especial. Entonces, las soluciones perfectamente definidas para ecuaciones diferenciales bien planteadas pueden ser no "analíticas" para algunos simplemente porque nadie se molestó en dar a esas soluciones un nombre especial.

Respuestas (1)

Una forma matemática más precisa de hacer su pregunta es: dado un operador autoadjunto (generalmente ilimitado) H en un espacio de Hilbert H , ¿soy capaz de caracterizar su espectro?

Encontrar soluciones "cerradas" a la ecuación que está escribiendo, significa encontrar funciones propias de su operador H , posiblemente perteneciente al espacio de Hilbert H (ya que quieres que sean estados realizables). En otras palabras, significa que investigas si el operador H tiene espectro discreto.

A veces es posible probar que el espectro es completamente discreto, a veces que no hay espectro discreto, pero por lo general tiene espectros tanto discretos como no discretos (esenciales): realmente depende de la forma del operador H . Existe un campo de investigación matemática en curso, enorme y bien establecido sobre este tema llamado "teoría espectral". La "biblia" de la física matemática, es decir, los libros de Reed y Simon , dedican un volumen entero (el cuarto) a este tema. Le sugiero que lea los capítulos VI, VII y VIII del primer volumen como una introducción general, y lo que quiera del Volumen 4 (especialmente las secciones sobre estados ligados y funciones propias) para tener una idea de las dificultades matemáticas de analizar el espectro de operadores. y, en consecuencia, sus funciones propias.

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