Demostrando que si el semigrupo (A, *) es un grupo, entonces la relación es una relación de equivalencia.

Soy consciente de que publicar preguntas de examen probablemente esté mal visto, pero esto no es tarea, creo que realmente estoy malinterpretando una parte del álgebra. La pregunta es esta:

A lo largo de esta pregunta, denotaremos por$\neg$la relación en un semigrupo$(A, * )$definido para que los elementos x e y del semigrupo satisfagan la relación$x \neg y$si y solo si existe algún elemento$s$del semigrupo$A$tal que$s * x = y * s$

1. Demostrar la relación$\neg$es una relación transitiva en$A$para todos los semigrupos$(A, *)$.

2. Demostrar que la relación$\neg$es una relación reflexiva sobre$A$para todos los semigrupos$(A, *)$.

3. Demuestre que si el semigrupo$(A, *)$es un grupo, entonces la relación$\neg$en$A$es una relación de equivalencia.

4. probar que si$(A, *)$es un grupo, y si la relación$\neg$es una orden parcial en$A$, entonces la operación binaria$*$del grupo$A$es conmutativo.

He demostrado que es transitivo y reflexivo sin demasiados problemas, pero no puedo pasar de 3.

Mi enfoque fue tal que comenzaría con algunos$s$tal que$s * x = y * s$, y luego jugar con esta ecuación hasta obtener un término nuevo, en términos de$x^{-1}$y$y^{-1}$tal que (algún término) * y = x * (algún término), pero sigo dando vueltas en círculos. Entonces pensé$s * x = y * s$no captura suficiente información sobre el problema para ser moldeado en la solución, pero no puedo ver qué más puedo agregarle.

Gracias de antemano, perdón por publicar una pregunta de examen, pero creo que esto debería exponer algo que me falta en todos los problemas similares.