La probabilidad de encontrar el electrón en el átomo de H HH\rm

Question

La probabilidad de encontrar el electrón en el átomo de H HH\rm

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En el libro Arthur Beiser - Conceptos de la física moderna [página 213] el autor separa las variables en la ecuación polar de Schrödinger asumiendo:

ψ_{norte yo metro} = R (r) Φ (ϕ) Θ (θ)

$\psi_{nlm}=R(r)\Phi(\phi)\Theta(\theta)$

luego hay una declaración de que el diferencial del espacio en el sistema de coordenadas polares es:

d V = (d r) \cdot (d θ r) \cdot (r pecado θ d ϕ)

$dV=(dr)\cdot (d\theta r)\cdot (r\sin\theta d\phi)$

Entiendo esto, pero en la página siguiente hay una declaración:

Como $\Phi$ y $\Theta$ son funciones normalizadas, la probabilidad real $P(r)dr$ de encontrar el electrón en un átomo de hidrógeno en algún lugar de la capa esférica entre $r$ y $r+dr$ del núcleo es:
$PAG (r) d r = r^{2} | R (r) |^{2} d r \int_{0}^{π} | Θ (θ) |^{2} pecado θ d θ \int_{0}^{2 π} | Φ |^{2} d ϕ = r^{2} | R (r) |^{2} d r .$ $P(r)dr=r^2|R(r)|^2dr\,\int\limits_{0}^{\pi}|\Theta(\theta)|^2\sin\theta d\theta \, \int\limits_{0}^{2\pi}|\Phi|^2 d\phi=r^2|R(r)|^2dr.$

En esta ecuación puedo reconocer el diferencial de volumen descrito anteriormente y la función de onda $\psi_{nlm}=R(r)\Phi(\phi)\Theta(\theta)$ . También sé que la normalización de las funciones angulares sobre los ángulos devuelve 1, pero no entiendo por qué no hay integración de la parte radial... ¿Alguien puede explicar un poco?

Respuestas (2)

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Mostafá · Answer 1

Mostafá

No hay integración de la parte radial porque, como tú mismo dijiste, queremos la probabilidad de encontrar el electrón en algún lugar de la capa esférica entre $r$ y $r+dr$ del núcleo. (en una capa diferencial entre $r$ y $r+dr$ , y no hay necesidad de integrar más $r$ .)

71GA

Muchas gracias. Entonces, si estamos satisfechos con una fracción de probabilidad, no hay necesidad de integrar :) Lo que me confundió fue esa sensación de que si queremos integrar la ecuación tenemos que hacerlo en ambos lados y no solo en un lado... Es se me hace raro que integremos solo una parte de la ecuación.

71GA

Tengo una pregunta más sobre esto. ¿Por qué usamos el diferencial de volumen cuando buscamos

P (r) d r

$P(r)dr$

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No importa, creo que entiendo :)

Mostafá

Si usted está buscando

P (r) d r

$P(r)dr$ tienes que encontrar

P (r)

$P(r)$ primero (de

P (r, θ, ϕ)

$P(r,\theta,\phi)$ ) .

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¿Cómo hago esto?

Mostafá

integrar sobre

θ

$\theta$ y

ϕ

$\phi$ , como hiciste en la pregunta.

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Sé que si quiero obtener la probabilidad completa, necesito calcular:

PAG = \int_{V} | R (r) |^{2} | Φ (ϕ) |^{2} | Θ (θ) |^{2} d V = \int_{V} | R (r) |^{2} | Φ (ϕ) |^{2} | Θ (θ) |^{2} r^{2} d r d θ pecado θ d ϕ = = \int_{0}^{\infty} r^{2} | R (r) |^{2} d r \int_{0}^{π} | Θ (θ) |^{2} pecado θ d θ \int_{0}^{2 π} d ϕ

$P=\int\limits_{V}|R(r)|^2|\Phi(\phi)|^2|\Theta(\theta)|^2dV = \int\limits_{V}|R(r)|^2|\Phi(\phi)|^2|\Theta(\theta)|^2\,\,r^2dr\, d\theta \sin\theta d\phi=\\ =\int\limits_{0}^{\infty}r^2|R(r)|^2dr \int\limits_{0}^{\pi}|\Theta(\theta)|^2 \sin\theta d\theta \int\limits_{0}^{2\pi}d\phi$ Espero haber escrito bien y creo que esta integral completa debe ser igual a 1. Pero de alguna manera todavía no me queda claro cómo obtener el

P (r) d r

$P(r)dr$ ... ¿Cómo puedo interpretar el

d r

$dr$ después de la

P (r)

$P(r)$ . ¿En qué piensas cuando ves algo así?

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Así que esta es la probabilidad total... ¿Qué pasaría si estuviera buscando

P d θ

$P d\theta$ ? ¿Tendría que quitar el

\int_{0}^{π}

$\int\limits_{0}^{\pi}$ ?

pfnuesel · Answer 2

$P(r)\,\text dr$ te da solo la probabilidad en una capa esférica infinitesimal alrededor del centro. La integración que espera se realiza cuando desea conocer la probabilidad en un caparazón no infinitesimal alrededor del centro.

Por ejemplo, le gustaría saber cuál es la probabilidad de encontrar un electrón entre $r=1$ y $r=2$ (en cualquier coordenada), integrarías

PAG (1 < r < 2) = \int_{1}^{2} PAG (r) d r

$P(1<r<2) = \int_1^2 P(r)\,\text dr$ .

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Mostafá

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Mostafá

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Mostafá

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pfnuesel

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