Cálculo del radio más probable para un electrón de un átomo de hidrógeno en el estado fundamental

Este enlace describe un método para determinar el radio más probable de un electrón para un átomo de hidrógeno en el estado fundamental.

Se afirma que :

La densidad de probabilidad radial para el estado fundamental del hidrógeno se obtiene multiplicando el cuadrado de la función de onda por un elemento de volumen de capa esférica.

Cuando fui a resolver este problema yo mismo, multipliqué el cuadrado de la función de onda dada por el volumen de una esfera, lo que me dio una respuesta incorrecta, ya que sé que debería ser el radio de Bohr.

Cuando pensé en este problema, me pareció razonable multiplicarlo por el volumen de una esfera en lugar del área de la superficie de una esfera (mi intuición). El enlace realmente no me explica por qué usa un área de superficie y no un volumen de una esfera y me gustaría obtener ayuda para obtener una intuición de por qué se usa el área de superficie y da la respuesta correcta y el volumen de una esfera no es.

Respuestas (2)

Nota: la respuesta de ChocoPouce es la misma que la mía pero es más matemática.

Tiene una distribución de densidad de probabilidad (esféricamente simétrica) ρ en el espacio (que obtenemos del cuadrado de la amplitud). La "densidad de probabilidad radial" es aproximadamente la posibilidad de que el electrón esté en un radio dado, digamos r = 0.1 norte metro ? En otras palabras, ¿cuánto de esta distribución está en el 0.1 norte metro ¿caparazón? no lo haremos exactamente 0.1 norte metro , entonces tomamos una cáscara delgada: ¿cuánto hay entre 0.1 y 0.1 + ε norte metro ? Cantidad = (densidad probabilística promedio en la cáscara)*(volumen de la cáscara). Dado que el caparazón es tan delgado ( ε es muy pequeña), la densidad será casi constante y el volumen de la cáscara viene dado por a r mi a × t h i C k norte mi s s = 4 π ∗ ( 0.1 norte metro 2 ) ∗ ε norte metro .

Así la probabilidad es 4 π ρ ( r ) r 2 ε , dónde ρ solo depende de r ya que es esféricamente simétrico. Pero ε es un grosor "pequeño" arbitrario que definimos, y es mejor dividirlo por ε para obtener la probabilidad por unidad de radio , que se denomina densidad de probabilidad (radial) 4 π ρ ( r ) r 2 . El radio más probable (que es diferente del radio promedio) maximiza esta función.

Ok, entiendo algo de lo que ambos dicen, que la densidad de probabilidad * el volumen encerrado por dos esferas me permite llegar a la respuesta. Pero todavía no tiene sentido intuitivo para mí que se use el volumen entre dos esferas (cáscara esférica) y no el volumen de una esfera desde el centro hasta una distancia arbitraria r. Puedo recordar hacer esto en el futuro, pero si la distribución es esféricamente simétrica, ¿por qué no usar un elemento de volumen de una esfera en lugar de una capa esférica?
Usamos el área porque queremos la probabilidad de que r sea exactamente 0,1 nm (técnicamente densidad de probabilidad), no la probabilidad de que r sea menor que 0,1 nm.

El enlace utiliza un elemento de caparazón esférico que es 4 π r 2 d r y tiene la dimensión de un volumen ( r 2 es una superficie y d r es una longitud.

La función de onda del estado fundamental es esférica, si no fuera así, el cálculo debería haberse realizado utilizando un elemento de volumen esférico como r 2 d r d θ d φ . No se utiliza ningún elemento de superficie en el cálculo. Para ver cómo el elemento de volumen de la capa esférica se relaciona con la simetría esférica, puede ver que:

∫ 0 R d r ∫ 0 π d θ ∫ 0 2 π d φ r 2 = 4 π ∫ 0 R r 2 d r

El elemento de volumen de capa esférica ya contiene la integración sobre ángulos.

Para realizar esos cálculos hay que multiplicar la función de onda por un elemento de volumen y no por el volumen total de una esfera. La definición de la función de onda establece que es una función ψ ( r , t ) como | ψ ( r , t ) | 2 d V es la probabilidad de encontrar la partícula en un elemento de volumen d V alrededor del punto indicado por r (en coordenadas esféricas en este ejemplo). Multiplicar la función de onda por un volumen (para obtener una amplitud de probabilidad) solo tiene sentido si el volumen es pequeño.

Gracias, pero sigo confundido. tengo la siguiente formula PAG ( r ) = ∫ 0 2 π ∫ 0 π | ψ ( r ) | 2 r 2 pecado ⁡ θ d θ d φ = | ψ ( r ) | 2 4 π r 2 . Que pensé que era la probabilidad de encontrar el electrón en un radio r y también el área de superficie de una esfera. Entonces puedo proceder a encontrar el máximo calculando d PAG d r = 0 . Si acepto que, en cambio, es un volumen de un elemento de capa esférica (que creo que entiendo ahora), todavía no entiendo por qué se usa un elemento de capa esférica y no el elemento de volumen de una esfera en sí.
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