La medida invariante en una superficie de energía de un sistema hamiltoniano.

Tienes razón en que mientras el teorema de Liouville dice algo sobre la invariancia de la medida$\Pi dq dp$, no dice nada directamente sobre una medida invariante en la hipersuperficie dada por$E=H(p,q)$.

En su excelente libro Mathematical Foundations of Statistical Mechanics , Khinchin (Sección 7) muestra que efectivamente existe una medida invariante en esa hipersuperficie. Esa medida invariable$\mu$es dado por:

$$\begin{equation} \mu(M) = \int_M \frac{ds}{|\nabla H|}, \end{equation}$$

para un conjunto$M$, donde$ds$es un elemento de volumen en esa hipersuperficie. Como se ha señalado aquí en términos generales,$1/|\nabla H|$describe el grosor de la hipersuperficie de energía en ese punto.

Agregado: Y aquí hay otro hilo sobre este tema.

Como dijo Menajem,

$$\begin{equation} \mu(M) = \int_M \frac{ds}{|\nabla H|}, \end{equation}$$ es una buena respuesta

Ahora quiero dar una respuesta más abstracta.$\mu_E$con elemento de superficie$d\sigma$que se describirá a continuación.

Considere N partículas con medida de espacio de fase$d\tau=dq_1...dq_N dp_1...dp_N$

Dejar$d\sigma$Sea una medida en la superficie de energía tal que$d\sigma dE=d\tau$. llama a la medida$\mu_E$, asi que$\mu_E(V)=\int_{V\cap \Sigma_E} d\sigma$. Aquí,$\Sigma_E$es la superficie de energía y V es cualquier volumen de espacio de fase. Entonces podemos probar que tal medida de superficie es invariante de flujo hamiltoniano.

Dejar$\phi_t()$sea ​​el flujo hamiltoniano (es decir, una evolución temporal del estado inicial$\tau_0$es$\phi_t(\tau_0)$). Por el teorema de Liouvill,$d\tau$es hamiltoniano-flujo-invariante.

$$\int_V d\tau =\int_{\phi_t(V)} d\tau$$

ahora corta$V$estar entre$E$y$E+\Delta E$y solo mantenemos la cáscara.

$$\int_{E}^{E+\Delta E} \int_{V \cap \Sigma_{E'}} dE'd\sigma = \int_{E}^{E+\Delta E} \int_{\phi_t(V) \cap \Sigma_{E'}} dE'd\sigma$$

Esto es válido para cualquier$E$y$\Delta E$que elegimos (debido a la conservación de la energía). Ahora sustituimos la definición de$\mu_E(V)$y$\mu_E(\phi_t(V))$

$$\int_{E}^{E+\Delta E} dE' \mu_{E'}(V) = \int_{E}^{E+\Delta E} dE' \mu_{E'}(\phi_t(V))$$

Dado que esto es válido para cualquier$E$y$\Delta E$, dividimos ambos lados por$1/\Delta E$, fije E, luego tome$\Delta E$acercarse a cero. Obtenemos

$$\mu_{E}(V)=\mu_E(\phi_t(V))$$ La derivación anterior muestra si podemos construir un $d\sigma$tal que $d\sigma dE=d\tau$, entonces la construcción es invariante al flujo.

Ahora mostramos la medida que escribió Menajem,$(ds/ |\nabla H| )$, satisface$(ds/ |\nabla H|) \ dE= d\tau$. Ya que$ds\ dh=d\tau$, donde$dh$es la altura del elemento de volumen en el espacio de fase, queremos mostrar$dh=dE/ |\nabla H|$o$dh |\nabla H|=dE$, y esta es casi la definición de derivada. (Si consideramos$\vec{dh}$como un vector en el espacio de fase normal a la superficie de energía, entonces$dE=\vec{\nabla} H \cdot \vec{dh}=|\nabla H| dh$)

En la dirección de avance,$dh |\nabla H|=dE$->$dE/|\nabla H|=dh$->$dE/|\nabla H|\ ds=dh\ ds=d\tau$->$(ds/|\nabla H|)\ dE=d\tau$. Por la derivación anterior$ds/|\nabla H|$da una medida invariante de flujo.

La medida de Liouville es básicamente el volumen de una pequeña región de dimensión completa en el espacio de fase. Si conoce exactamente la posición y el momento de cada partícula , el estado del sistema se describe mediante un punto en el espacio de fase, y el teorema de Liouville se vuelve trivial, porque obviamente un punto siempre tiene dimensión cero sin importar cómo lo mueva. Es cierto que la trayectoria del punto estará confinada a una hipersuperficie de H constante (si el hamiltoniano no depende explícitamente del tiempo), pero no hay una "medida" interesante que conservar.

El teorema de Liouville se vuelve útil cuando se tiene un conjunto estadístico de sistemas, o más prosaicamente, cuando las posiciones y los momentos tienen cierta incertidumbre. Por ejemplo, considere el conjunto de sistemas de una partícula donde la posición y los momentos inicialmente se distribuyen uniformemente sobre los intervalos$(x, p) \in [x_0 - \epsilon, x_0 + \epsilon] \times [p_0 - \delta, p_0 + \delta]$, para algunos pequeños$\epsilon$y$\delta$. Entonces el conjunto es descrito por un$\epsilon \times \delta$rectángulo en el espacio de fase, y el área de esta región se distorsionará con el tiempo, pero su área$\epsilon \delta$permanecerá constante. Tal conjunto se extenderá genéricamente sobre un rango finito de valores$H$del hamiltoniano. Entonces, en el contexto del conjunto donde el teorema de Liouville es útil, "el sistema" de hecho no está confinado a una sola hipersuperficie.

En un sistema de coordenadas dado en el espacio de fase, puede definir una hipersuperficie de codimensión-1$A(E)$por la intersección del volumen del sistema de conjunto y la hipersuperficie con energía$E$, y el teorema de Liouville garantiza la conservación del volumen$\int_{-\infty}^\infty A(E)\, dE$. Pero no estoy seguro si la función$A(E)$se conserva en sí mismo, porque como usted sugiere, no es obvio que esta medida del área de la hipersuperficie se pueda definir de una manera que quede invariable bajo transformaciones canónicas.