De acuerdo con el teorema de Liouville, ¿por qué la medida en una superficie de energía es diferente de la medida en el espacio de fases en general?

Question

De acuerdo con el teorema de Liouville, ¿por qué la medida en una superficie de energía es diferente de la medida en el espacio de fases en general?

Física
espacio de fase
formalismo hamiltoniano
mecánica estadística

dargscisyhp

Recientemente leí la derivación de Khinchin del teorema de Liouville. Pude seguir las matemáticas en su mayor parte, sin embargo, esperaba una comprensión intuitiva de por qué la forma de la medida en una superficie de energía en el espacio de fase es diferente a la forma de la medida en todo el espacio de fase.

si tenemos un $N$ espacio de fase bidimensional, entonces la medida en ese espacio de fase es simplemente $dV$ . Pude seguir la prueba de por qué esa medida se conserva bajo el movimiento natural. Sin embargo, si restringimos nuestro análisis a una superficie de energía a ese espacio de fase, entonces la medida en esa superficie se convierte en $\frac{d \Sigma}{| \nabla H |}$ , y no solo $d \Sigma,$ el elemento de área en esa superficie de energía. Por lo que entiendo, la razón declarada para esto es que $d \Sigma \cdot dn = \frac{d \Sigma}{| \nabla H |}$ (dónde $dn$ es la normal a la superficie de energía) es solo un elemento de volumen en el espacio de fase, y entonces podemos apelar al hecho de que ya sabemos que se conserva un elemento de volumen diferencial en el espacio de fase. Sin embargo, si vemos la superficie de energía en sí misma como un $N-1$ espacio de fase dimensional entonces tu viejo $d \Sigma$ se convierte esencialmente en un elemento de volumen en este nuevo $N-1$ espacio dimensional. ¿Por qué, entonces, el teorema de Liouville derivado para el espacio de fase de dimensiones superiores no se aplica también al $N-1$ espacio dimensional, haciendo así $d \Sigma$ la medida correcta?

Editar para aclarar lo que significan mis cantidades: $dV$ es un elemento de volumen diferencial en el espacio de fase. $d \Sigma$ es un elemento de área diferencial en una superficie de energía en el espacio de fase. $H$ es mi hamiltoniano, y para mi $N$ espacio de fase dimensional

| \nabla H | = \sqrt{\sum_{i = 1}^{norte / 2} {(\frac{\partial H}{\partial q_{i}})}^{2} + {(\frac{\partial H}{\partial {pag}_{i}})}^{2}} .

$| \nabla H | = \sqrt{ \sum_{i=1}^{N/2} \left( \frac{\partial H}{\partial q_i} \right)^2 + \left( \frac{\partial H}{\partial p_i} \right)^2}.$

$dn$ es un vector normal diferencial a la superficie de energía.

qmecanico

¿Qué referencia de Khinchin? ¿Qué página?

dargscisyhp

(Fundamentos matemáticos de la mecánica estadística)[ amazon.com/…

Menajem

Sección 7, en las páginas 32-38.

Bohan Xu

Escribí una prueba relativamente corta de que la medida modificada por gradiente es un enlace de medida invariable

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De acuerdo con el teorema de Liouville, ¿por qué la medida en una superficie de energía es diferente de la medida en el espacio de fases en general?

(Fundamentos matemáticos de la mecánica estadística)[ amazon.com/…
Escribí una prueba relativamente corta de que la medida modificada por gradiente es un enlace de medida invariable

nanito · Answer 1

La imagen intuitiva es que los puntos de fase se mueven más rápidamente a través de regiones del espacio de fase donde $|\nabla H|$ es más alto. Como resultado, si tiene un conjunto de puntos de fase de energía constante (un "paquete" plano), su área de espacio de fase aumenta a medida que se mueven a través de puntos altos. $|\nabla H|$ regiones.

Para el teorema de Liouville completo esto no es un problema. Un conjunto de energía constante es plano y, por lo tanto, siempre tiene un volumen espacial de fase cero; este volumen cero se conserva.

Ahora, si ahora tiene un paquete "grueso" que tiene un volumen, un conjunto que abarca diferentes energías. Los puntos se mueven más rápidamente en alta $|\nabla H|$ regiones, extendiéndose en el área, pero el paquete se vuelve más delgado. De esta forma se conserva el volumen.

Hice una animación para wikipedia que podría ayudar:

Animación de la evolución del espacio de fases.

El gráfico superior muestra un espacio de fase 2D (el "volumen" del espacio de fase es el área mostrada; una superficie de energía constante sería una curva 1D). La mecánica es simplemente la de una partícula que se mueve en el pozo de potencial trazado en rojo en el gráfico inferior.

El conjunto de puntos de fase azul es un conjunto de volumen. Observa el punto verde en particular. Observe cómo los puntos de fase disminuyen la velocidad en el lado izquierdo del pozo donde $|\nabla H|$ es más bajo, y aumente la velocidad en la pendiente potencial empinada del lado derecho.

Ahora volvamos al teorema de Liouville de energía constante. El punto es que queremos una medida en la que el área de fase se conserve en evolución. Por lo tanto, necesitamos compensar la tendencia de los puntos de fase a variar su velocidad espacial de fase.

gatsu · Answer 2

Una forma de entenderlo es escribirlo usando la medida de Dirac para expresar el espacio de fase en el conjunto microcanónico (porque de eso se trata).

En este conjunto la idea es decir que la energía $H(\textbf{r})$ (dónde $r$ es un punto en el espacio de fase) se fija en algún valor $E$ (en realidad pertenece a un intervalo muy pequeño $[E,E+\delta E]$ ).

Uno para expresar eso en el sentido de distribuciones es escribir que la medida se verá así:

m = \int d^{6 norte} r d (H (r) - mi)

$\mu = \int \:\mathrm{d}^{6N}r \:\delta(H(\textbf{r})-E)$

dónde $\mathrm{d}^{6N}r$ es la medida de Lebesgue $\mathrm{d}V$ te referías.

Ahora hay una identidad sobre la función delta de Dirac que dice que

d (F (X)) = \frac{d (X - X_{0})}{| F^{'} (X_{0}) |}

$\delta(f(x)) = \frac{\delta(x-x_0)}{|f'(x_0)|}$

dónde $x_0$ es el punto (supuesto único aquí en el dominio de integración) que satisface $f(x_0) = 0$ .

En nuestro caso multidimensional el resto $\delta(\textbf{r}-\textbf{r}_0)\mathrm{d}V \equiv d\Sigma$ y $|f'(x_0)| \rightarrow |\nabla H|$ y viene:

m = \int \frac{d Σ}{| \nabla H |} .

$\mu = \int \:\frac{\mathrm{d}\Sigma}{|\nabla H|} \;.$

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