Problema con matrices en notación de Dirac

Si su libro dice lo que usted describe, es una forma muy confusa de representar el tema y la declaración con respecto a$\langle q\vert\hat{p}\vert \psi\rangle$simplemente está mal.

• $\langle e_i \vert \hat{A} \vert e_j \rangle$es el$ij$th elemento de matriz del operador$\hat{A}$, decir$A_{ij}$, en la base (ortonormal completa) atravesada por$\{\vert e_i\rangle \}$lo que significa que el operador completo es$\hat A= \sum_{ij}A_{ij} \vert e_i\rangle\langle e_j\vert$.

• $\langle q \vert \hat p \vert \psi \rangle$no es el elemento de la matriz del operador de cantidad de movimiento en la base de posición, a menos que$\psi$pasa a ser un estado propio de posición$\vert \tilde{q}\rangle$en ese caso$\langle q \vert \hat p \vert \psi \rangle$sería el$q\tilde{q}$º elemento de la representación matricial del operador de cantidad de movimiento en la base de posición.

• Sin embargo, lo que puedes decir es que$\langle q \vert\hat p \vert \psi \rangle$"representa la acción del operador de cantidad de movimiento en la base de posición" en el siguiente sentido:

  $$\langle q \vert \hat p \vert \psi \rangle= \int d\tilde{q} ~ \langle q \vert\hat p \vert \tilde{q} \rangle \langle \tilde{q} \vert \psi \rangle = \int d\tilde{q} ~ i\hbar \partial_{\tilde{q}} \delta (q-\tilde{q} ) \psi(\tilde{q} )= -i\hbar \partial_q \psi(q)$$ Entonces,$\langle q \vert \hat p \vert \psi \rangle$describe la acción del operador de cantidad de movimiento en un estado genérico$\psi$en la base de la posición. Esta es la razón por$-i\hbar \partial_q$a menudo se dice que es el operador de cantidad de movimiento en la base de posición. Esto no significa que sea el elemento de la matriz del operador de momento en la base de posición, eso sería$\langle q \vert\hat p \vert \tilde{q} \rangle = i\hbar \partial_{\tilde{q}} \delta (q-\tilde{q} )$(un hecho que usamos en el cálculo anterior).

• Finalmente, decir que$\langle \psi \vert \hat A\vert \psi \rangle$es el elemento de la matriz del operador$\hat A$en$\psi$es una declaración extrañamente redactada, por decir lo menos, pero se puede hacer más precisa y correcta. Si$\psi$es un vector de estado normalizado, siempre puede encontrar un operador hermitiano$\hat O$tal que$\psi$es uno de sus estados propios. Entonces puedes interpretar$\langle \psi \vert \hat A\vert \psi \rangle$como el$\psi\psi$elemento de la representación matricial del operador$\hat A$en la base generada por los estados propios del operador$\hat O$. Sin embargo, en general, dicho operador puede o no tener un significado físico directo y, por lo tanto, decir que$\langle \psi \vert \hat A \vert \psi \rangle$es un elemento de matriz de$\hat A$en la base abarcada por tal operador no es muy útil. Un significado más directamente físico e independiente de la base de$\langle \psi \vert \hat A \vert \psi \rangle$es que es el valor esperado del operador$\hat A$sobre el estado$\psi$.

$\langle q|\hat{p}|\psi\rangle$puede interpretarse (¡puramente formalmente!) como el elemento con etiqueta$q$de una matriz de columna "continua" que representa el ket$\hat{p}|\psi\rangle$en la base$\{|q\rangle\}$:

El elemento con etiqueta$(q,q')$de la matriz "continua" del operador momento en la base$\{|q\rangle\}$estaría dada, correspondientemente, por$\langle q|\hat{p}| q'\rangle$, en analogía con$\langle e_i|\hat{p}|e_j\rangle$siendo el$(i,j)$-ésimo elemento de la matriz de$\hat{p}$en la base$\{|e_i\rangle\}$:

En cuanto a la última parte de su pregunta, creo que es solo un poco de terminología informal del libro que está citando. Un elemento de matriz$\langle q|\hat{p}| q'\rangle$a menudo se dice que se "superpone" entre los estados$|q\rangle$y$|q'\rangle$, mientras$\langle q|\hat{p}|q\rangle$sería llamado "el" elemento de la matriz de$\hat{p}$en el estado de soltero$|q\rangle$(este es un elemento "diagonal" de la matriz anterior). En consecuencia, para cualquier estado$|\psi\rangle$podrías llamar$\langle\psi|\hat{A}|\psi\rangle$el elemento de la matriz de$\hat{A}$en el estado de soltero$|\psi\rangle$.

La matriz de un operador hermitiano debe ser hermitiana, es decir, satisfacer