¿Definición matemática rigurosa de operador vectorial?

Así que hay un isomorfismo natural

$$\varphi: H^{\oplus 3} \to H \otimes \mathbb R^3\\ (a, b, c) \mapsto a \otimes e_0 + b \otimes e_1 + c \otimes e_2$$

dónde$e_i$es una base para$\mathbb R^3$. La definición a la que te opones es

$$\hat{\vec{x}}: H \to H^{\oplus 3}\\ v \mapsto (\hat x(v), ~ \hat y(v) , ~\hat z(v))$$

Puede convertirlo a su versión componiendo con el isomorfismo anterior.

$$\tilde x \equiv \varphi \circ \hat{\vec{x}}:~~ H \to H \otimes \mathbb R^3\\ v \mapsto \hat x(v) \otimes e_0 + ~ \hat y(v) \otimes e_1 + ~\hat z(v)\otimes e_2$$

Así que tu definición tiene mucho sentido.

Comentarios

Así que esto responde a la pregunta como se indica. A juzgar por sus comentarios sobre otras respuestas, creo que está buscando una forma más agradable de formalizar la molesta declaración 'el operador bla se transforma en un grupo bla como un vector'. Si esta definición produce lo que desea debe ser objeto de otra pregunta.

Es decir, creo que espera que la conjugación de alguna manera por una representación del grupo factorice su producto tensorial y tenga la acción del grupo en$\mathbb R^3$simplemente actúe sobre el segundo factor. Pasé un par de minutos tratando de hacer que esto funcionara ingenuamente sin mucha suerte, actualizaré si hay progreso, o al menos daré una mejor explicación de por qué no.

Editar

Voy a describir cómo esta construcción hace que la "covarianza bajo conjugación por alguna representación de alguna acción en$\mathbb R^3$"condición más explícita, como esperaba OP.

Para mayor claridad, comencemos dando un nombre a la operación de conjugar este "operador vectorial".

Dejar$G$ser algún grupo que admite una acción sobre$\mathbb R^3$. Dejar$U: G \to H$ser una representación unitaria de$G$en$H$. Defina, para cualquier$R \in G$

$$\begin{align} C_R: \mathrm{Mor}(H, H^{\oplus 3}) &\to \mathrm{Mor}(H, H^{\oplus 3})\\ f(\cdot) &\mapsto (U(R) f(\cdot)^i U(R)^\dagger)_{i \in (0, 1, 2)} \end{align}$$

dónde$\mathrm{Mor}(V, W)$es una colección de mapas lineales$V \to W$. Este es solo un nombre para la conjugación por componentes de esta tupla de operadores.

Ahora el reclamo principal

Proposición La declaración

$$C_R(\hat{\vec{x}}) = \left(\sum_{j}R_{ij}\hat{\vec{x}}(v)^j\right)_{i \in (0, 1, 2)}$$

es equivalente a

$$\varphi \circ C_R(\hat{\vec{x}}) = (1 \otimes R)(\varphi \circ \hat{\vec{x}})$$

Prueba Por brevedad damos la$\implies$dirección, la otra dirección debería ser obvia a partir del mismo cálculo

$$\begin{align} \varphi\left(\left(\sum_{j}R_{ij}\hat{\vec{x}}(v)^j\right)_{i \in (0, 1, 2)}\right) &= \sum_i\left(\sum_{j} R_{ij} \hat{\vec{x}}(v)^j\right) \otimes e_i \\ &= \sum_{ij} \hat{\vec{x}}(v)^j \otimes R_{ij}e_i\\ &=\sum_{j} \left(\hat{\vec{x}}(v)^j \otimes \sum_i R_{ij}e_i\right)\\ &= (1 \otimes R)\left(\sum_{j} \hat{\vec{x}}^j(v) \otimes e_j \right)\\ &=(1 \otimes R)\left(\varphi(\hat{\vec{x}(v)}) \right) \end{align}$$

Sí, existe una definición rigurosa de un operador vectorial, pero su intuición es incorrecta. Supongamos que tuviéramos un operador vectorial$\hat{\vec{V}}$en el espacio euclidiano tridimensional. El requisito más sensato que podríamos tener para un operador vectorial es que los valores esperados de los operadores vectoriales (que serían un vector de números ordinarios) deberían transformarse en un vector ordinario; eso es

$$\begin{equation} \langle\psi'|\hat{V}_i|\psi'\rangle=\sum_jR_{ij}\langle\psi|\hat{V}_j|\psi\rangle, \end{equation}$$ dónde $R$es una rotación que mapea el estado $|\psi\rangle\rightarrow|\psi'\rangle$. Más precisamente $$\begin{equation} |\psi'\rangle =\hat{U}(R)|\psi\rangle, \end{equation}$$ dónde $\hat{U}(R)$es un operador unitario que implementa la rotación clásica $R$sobre el estado $|\psi\rangle$(y puede rotar tanto grados de libertad espaciales como de giro). Queremos que la relación anterior se cumpla para todos los estados $|\psi\rangle$, lo que implica que $$\begin{equation} \hat{U}(R)\hat{V}_i\hat{U}(R)^{\dagger}=\sum_j \hat{V}_j R_{ji} \end{equation}$$ Esta es la definición precisa de un operador vectorial. Es una colección de operadores que se transforman como un vector bajo rotaciones. De hecho, los operadores de posición $\hat{\vec{x}}$formar un operador vectorial. Se aplican definiciones análogas a los operadores escalares, así como a los operadores tensoriales superiores (conocidos como operadores tensoriales irreducibles).

Sin embargo, como han indicado otras respuestas, esto no implica que dichos operadores asignen el espacio de Hilbert a algún tipo de espacio expandido (como sugiere su pregunta). Simplemente significa que tienen propiedades de transformación prescritas bajo rotaciones. Se puede aprender mucho estudiando estas propiedades de transformación. Puede obtener más información sobre los operadores tensoriales irreducibles y uno de los resultados relacionados más útiles, conocido como el teorema de Wigner-Eckart, leyendo estas notas de clase .

No. En tres dimensiones hay tres operadores de posición,$\hat{x}_1$,$\hat{x}_2$, y$\hat{x}_3$, o tal vez$\hat{x}$,$\hat{y}$, y$\hat{z}$. Cada uno de estos es un operador lineal en el primer sentido correcto. Cada uno asigna estados en el espacio de Hilbert a otros mapas en el espacio de Hilbert y nada más.

Ahora, los tres operadores de posición distintos están estrechamente relacionados entre sí, por lo que a menudo escribimos$\hat{\vec{x}}$como una abreviatura para hablar de todos ellos a la vez, pero aún son tres operadores separados que asignan$H\rightarrow H$.

Además, cuando tiene tres operadores de posición relacionados, el espacio de Hilbert tiene una estructura adicional en comparación con cuando solo tiene un operador de posición. Específicamente, el espacio de Hilbert se convierte en$L_2(\mathbb{R}^3,\mathbb{C})$, en lugar de solo$L_2(\mathbb{R},\mathbb{C})$. Este es un espacio de Hilbert más grande. (Al menos en cierto sentido. Probablemente no sea el caso que$L_2(\mathbb{R}^3,\mathbb{C}) \simeq L_2(\mathbb{R},\mathbb{C})^{\otimes 3}$pero es un buen comienzo)

En última instancia, lo que creo que está buscando es la relación especial entre$\hat{x}$,$\hat{y}$, y$\hat{z}$que justifica agruparlos. La respuesta es simetría. El espacio de Hilbert$H = L_2(\mathbb{R}^3,\mathbb{C})$transforma bajo rotaciones del espacio físico, representado por el grupo$SO(3)$. Estas rotaciones transforman estados en$H$a otros estados en$H$, y también transforman operadores en$H$en otros operadores en$H$. Por ejemplo, una rotación puede mapear el$\hat{x}$operador a la$\hat{y}$y$\hat{y}$a$-\hat{x}$, correspondiente a una rotación de 90 grados de su sistema de coordenadas.

cuando llamamos$\vec{\hat{x}}$un operador vectorial, en realidad estamos diciendo que los tres operadores se transforman entre sí bajo rotaciones de esta manera. Pero todavía hay tres operadores distintos que mapean individualmente desde$H$a$H$!