Combinando dos hamiltonianos 1D: ¿Cómo construir correctamente el nuevo hamiltoniano?

Question

Combinando dos hamiltonianos 1D: ¿Cómo construir correctamente el nuevo hamiltoniano?

hans wurst

Digamos que tengo dos espacios de Hilbert 1D $\mathcal H_A, \mathcal H_B$ , por ejemplo, dos osciladores armónicos 1D. Cada espacio viene con una base ortonormal. $B_A=\{\phi^A_n \}, \ B_B=\{\phi^B_m \}, \ n,m\geq 0$ donde cada función es una función propia del respectivo operador 1D-Hamilton. Ahora me gustaría construir el sistema combinado, sin ningún acoplamiento. Tengo entendido que tomamos el producto tensorial de ambos espacios para obtener el nuevo espacio $\mathcal H_c$ ,

H_{C} = H_{A} \otimes H_{B}

$\mathcal H_C = \mathcal H_A\otimes \mathcal H_B$

Una base para nuestro nuevo espacio es $B_C = \{\phi_n^A\otimes\phi_m^B \}$ tal que

\begin{aligned} {\hat{H}}_{C} ϕ_{norte metro}^{C} & = {mi}_{norte metro} ϕ_{norte metro}^{C} \\ ({\hat{H}}_{A} \otimes \hat{1} + \hat{1} \otimes {\hat{H}}_{B}) (ϕ_{norte}^{A} \otimes ϕ_{metro}^{B}) & = ({mi}_{norte}^{A} + {mi}_{metro}^{B}) ϕ_{norte}^{A} \otimes ϕ_{metro}^{B} \end{aligned}

$\begin{aligned} \hat H_C \phi^C_{nm} &= E_{nm}\phi^C_{nm} \\ (\hat H_A\otimes \hat 1 + \hat 1\otimes \hat H_B)(\phi_n^A\otimes\phi_m^B) &= (E^A_n+E_m^B)\phi_n^A\otimes\phi_m^B \\ \end{aligned}$

Para que todo salga así necesitamos

{\hat{H}}_{C} = {\hat{H}}_{A} \otimes \hat{1} + \hat{1} \otimes {\hat{H}}_{B}

$\hat H_C = \hat H_A\otimes \hat 1 + \hat 1\otimes \hat H_B$

Pero no me queda claro a priori que deba ser así. ¿Por qué el operador no está dado por

{\hat{H}}_{C} = {\hat{H}}_{A} \otimes {\hat{H}}_{B} ?

$\hat H_C = \hat H_A\otimes \hat H_B \quad ?$ ¿Cuándo están los operadores en el nuevo espacio del formulario?

{\hat{O}}_{A} \otimes \hat{1} + \hat{1} \otimes {\hat{O}}_{B}

$\hat O_A\otimes \hat 1+ \hat 1\otimes \hat O_B$ y cuando los operadores toman la forma

{\hat{O}}_{A} \otimes {\hat{O}}_{B} .

$\hat O_A\otimes \hat O_B.$ El operador de paridad, por ejemplo, tiene esta forma. ¿Existe una forma sencilla de saber cómo se "transfieren" los operadores a un espacio de producto?

Respuestas (1)

Combinando dos hamiltonianos 1D: ¿Cómo construir correctamente el nuevo hamiltoniano?

SolublePeces · Answer 1

Una primera respuesta en el caso del hamiltoniano es el análisis dimensional: $H_A\otimes H_B$ tiene dimensión de energía al cuadrado, por lo que no es un buen candidato hamiltoniano.

Una respuesta más profunda es que los operadores unitarios extienden usando el producto tensorial, mientras que los operadores hermíticos extienden usando la regla de la suma (como el hamiltoniano).

Por ejemplo, el operador de evolución temporal $U(t) = e^{-i\hat Ht /\hbar}$ resuelve la ecuación de Schrödinger. Si te dan dos soluciones $|\psi_A(t)\rangle = U_A(t) |\psi_A(0)\rangle$ y $|\psi_B(t)\rangle= U_B(t) |\psi_B(0)\rangle$ , espera (dado que no está introduciendo ningún acoplamiento entre los dos subsistemas, que $|\psi_A(t)\rangle \otimes |\psi_B(t)\rangle$ es una solución de la ecuación de Schrödinger para el sistema combinado.

Eso es :

{tu}_{A B} (t) = {tu}_{A} (t) \otimes {tu}_{B} (t)

$U_{AB}(t) = U_A(t)\otimes U_B(t)$ desde desde

i ℏ \frac{d}{d t} U (t) |_{t = 0} = H

$i\hbar\frac{d}{dt} U(t)|_{t=0} = H$ , tomando una derivada temporal en

t = 0

$t=0$ , usted obtiene :

H_{A B} = {\hat{H}}_{A} \otimes I_{B} + I_{A} \otimes H_{B}

$H_{AB} = \hat H_A \otimes \mathbb I_B + \mathbb I_A \otimes H_B$

Más generalmente, los operadores de simetría (por ejemplo, traslaciones, rotaciones, paridad, etc.) se extenderán utilizando el producto tensorial. Para simetrías continuas, tomar una derivada significará que los generadores (cantidad de movimiento, cantidad de movimiento angular, espín, etc.) se extenderán usando la regla de la suma.

¿Significa esto que los operadores correspondientes a los elementos del grupo de Lie van a los productos tensoriales y los operadores hermitianos correspondientes basados en los elementos del álgebra de Lie van a una suma de operadores?
@HansWurst sí. Los valores propios de los generadores son aditivos, pero las funciones propias son multiplicativas.
@HansWurst Básicamente, sí. Para ser un poco más formal, se hablaría de representaciones de grupos de Lie y álgebras de Lie

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hans wurst

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hans wurst

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