¿La ley de Newton rompe la invariancia de escala?

Question

¿La ley de Newton rompe la invariancia de escala?

Física
escalada
simetría
invariancia de escala
mecanica clasica
mecanica-newtoniana

SRS

Bajo una transformación de escala

\begin{matrix} (1) & t \to \bar{t} = m t y r \to \bar{r} = λ r, \end{matrix}

$t\rightarrow \bar{t}=\mu t\hspace{0.3cm}\text{and}\hspace{0.3cm}\textbf{r}\to\bar{\textbf{r}}=\lambda\textbf{r},\tag{1}$ La ley de Newton toma la forma

\begin{matrix} (2) & metro \frac{d^{2} r}{d t^{2}} = F \Rightarrow metro \frac{d^{2} \bar{r}}{d {\bar{t}}^{2}} = \frac{λ}{m^{2}} F . \end{matrix}

$m\frac{d^2\textbf{r}}{dt^2}=\textbf{F}\Rightarrow m\frac{d^2\bar{\textbf{r}}}{d\bar{t}^2}=\frac{\lambda}{\mu^2}\textbf{F}.\tag{2}$ lo que muestra que la ley de Newton no es invariante de escala para un tiempo independiente

F

$\textbf{F}$ .

Esto me parece sorprendente porque la escala investiga si la física es la misma en todas las escalas (de aumento), y la invariancia de la escala se rompe/estropea si hay una escala de longitud o escala de tiempo incorporada en el problema. Ahora, la ley de Newton para una partícula de masa $m$ no es invariante de escala como he mostrado en (2).

¿Cuál es la razón para esto? No hay una escala de longitud o escala de tiempo incorporada en el problema que uno pueda construir a partir de la $\textbf{F}$ y $m$ . Por lo tanto, físicamente me sorprende. ¿Significa que el desglose de la invariancia de escala no tiene nada que ver con la escala de longitud intrínseca o la escala de tiempo?

una mente curiosa

Su declaración es bastante obviamente correcta. ¿ Cuál es la verdadera pregunta que quieres hacer? ¿Por qué está investigando la simetría de escala de tiempo para las leyes de Newton? Suena sorprendido al descubrir que no es invariable. ¿Por qué habría asumido que lo sería?

SRS

@ACuriousMind Edité completamente la pregunta y el título, y lo aclaré. ¿Transmite ahora la pregunta con claridad?

Respuestas (2)

¿La ley de Newton rompe la invariancia de escala?

Su declaración es bastante obviamente correcta. ¿ Cuál es la verdadera pregunta que quieres hacer? ¿Por qué está investigando la simetría de escala de tiempo para las leyes de Newton? Suena sorprendido al descubrir que no es invariable. ¿Por qué habría asumido que lo sería?
@ACuriousMind Edité completamente la pregunta y el título, y lo aclaré. ¿Transmite ahora la pregunta con claridad?

una mente curiosa · Answer 1

Lo que ha demostrado es que la ley de Newton no es invariante en escala para una fuerza $F(x,\dot{x},t)$ que es invariante de escala, ya que implícitamente asumiste que $F$ se transforma como un escalar bajo la dilatación ¹ . Esta es una especie de declaración trivial: si la lhs de una ecuación se transforma de manera no trivial y asumes que la rhs se transforma de manera trivial, la ecuación como un todo no puede ser in- o covariante.

El punto es que a priori es indeterminado cómo $F$ se transforma bajo tal transformación. Es la forma funcional precisa de $F$ que determina si la ecuación de movimiento es o no invariante bajo cualquier transformación, en particular la transformación de escala.

Su confusión parece ser que espera que la "mecánica newtoniana" exhiba simetría de escala. Pero las simetrías son propiedades de los sistemas físicos , no de marcos teóricos físicos. Dado que muchos sistemas newtonianos tienen descripciones lagrangianas equivalentes en las que podemos aplicar el teorema de Noether, esperar que todos los sistemas newtonianos tengan invariancia de escala es evidentemente absurdo, ya que esto esperaría que todos ellos tuvieran una cantidad conservada correspondiente. Sus "escalas explícitas de duración/tiempo" simplemente están ocultas para usted porque no ha elegido un sistema en particular y, por lo tanto, una expresión explícita para $F$ .

^{¹ La independencia del tiempo no es suficiente para garantizar que la ley de Newton no sea invariante en escala, considere la fuerza $F = \frac{\dot{r}^2}{r}$ como contraejemplo.}

1. Entiendo tu punto. Dado que la propiedad de transformación de escala de $\textbf{F}$ no se conoce a priori, porque la forma de $\textbf{F}$ no se conoce, la ecuación (2) no prueba que la ley de Newton no sea invariante en escala. 2. Pero si $\textbf{F}$ es una fuerza constante, entonces la ecuación (2) rompe la invariancia de escala. 3. ¿No es físicamente sorprendente? Sorprendente porque no hay escala de tiempo intrínseca o escala de longitud en el problema que se pueda construir a partir de la constante $F$ y $m$ . Entonces, ¿por qué se rompe la invariancia de escala con constante $\textbf{F}$ (físicamente)? @ACuriousMind

usuario130529 · Answer 2

la unidad newton es $kg⋅m/s^2$ . La unidad te dice que si escalas el tiempo por $t \to \lambda t$ , el resultado no será invariante, se dividirá por $\lambda^2$ . También te dice que hay infinitas formas de escalar las otras unidades (metro y masa) para obtener una fuerza invariante. Por ejemplo, si escala la longitud por $r \to λ^2r$ y dejas la masa sin cambios, entonces la fuerza será invariante. También puede escalar la longitud por $r \to λr$ y la masa por $m \to λm$ ...

Si una cantidad dada es invariable bajo la escala de tiempo (sin otra escala), simplemente significa que la unidad de esta cantidad no involucra el tiempo.

¿La ley de Newton rompe la invariancia de escala?

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una mente curiosa

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una mente curiosa

SRS

usuario130529

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