Comprender las operaciones físicas correspondientes a la conversión de unidades y la transformación de escala del tiempo

Por definición, bajo una conversión de unidad de tiempo

$$t\to\bar{t}=\alpha t\tag{1}$$ (es decir, medir el tiempo en minutos en lugar de en segundos) la física no debe cambiar y, por lo tanto, la forma de las ecuaciones tampoco debe cambiar. Ley de Newton para una fuerza independiente del tiempo $\textbf{F}$se transforma bajo conversión de unidades como $$m\frac{d^2\textbf{r}}{dt^2}=\textbf{F}\Rightarrow m\frac{d^2\textbf{r}}{d\bar{t}^2}=\frac{1}{\alpha^2 }\textbf{F}=\frac{1}{\alpha^2 }\alpha^2\bar{\textbf{F}}=\bar{\textbf{F}}$$ donde la fuerza $\bar{\textbf{F}}$no se mide en Newton sino $N/\alpha^2$. Esto es fácil de entender por qué los valores numéricos de las aceleraciones son diferentes por un factor de $\alpha^2$. Esto se debe a que se miden en dos unidades diferentes.

Ahora considere la ecuación

$$m\frac{d^2\textbf{r}}{dt^2}+\gamma\frac{d\textbf{r}}{dt}+\omega^2\textbf{r}=\textbf{F}\tag{2}$$ que bajo la conversión de unidades (1) se convierte en $$m\alpha^2\frac{d^2\textbf{r}}{d\bar{t}^2}+\alpha^2\bar{\gamma}\frac{d\textbf{r}}{d\bar{t}}+\alpha^2\bar{\omega}^2\textbf{r}=\textbf{F}=\alpha^2\bar{\textbf{F}}$$ porque bajo la conversión de unidades $\omega\to\alpha\bar{\omega}$y $\gamma\to\alpha\bar{\gamma}$. Por lo tanto, la ecuación vuelve a ser invariante como se esperaba: $$m\frac{d^2\textbf{r}}{d\bar{t}^2}+\bar{\gamma}\frac{d\textbf{r}}{d\bar{t}}+\bar{\omega}^2\textbf{r}=\bar{\textbf{F}}.$$

Ahora, una transformación de escala en el tiempo

$$t\rightarrow\bar{t}=\lambda t\tag{3}$$ es fundamentalmente diferente de un cambio trivial de unidades. Según (3), la física puede cambiar si cambia la forma de las ecuaciones. Por ejemplo, bajo (3), Eqn. (2) se convierte $$m\lambda^2\frac{d^2\textbf{r}}{d\bar{t}^2}+\gamma\lambda\frac{d\textbf{r}}{d\bar{t}}+\omega^2\textbf{r}=\textbf{F}.$$ Esto es de forma diferente a (2). Esta ecuación no es invariante bajo la transformación de escala del tiempo.

Una conversión de unidades es fácil de entender y fácil de implementar en la práctica. Use segundos o use minutos para medir, es decir, cuente el tiempo transcurrido en segundos o en minutos. Pero, ¿cómo puedo entender e implementar transformaciones de escala en la práctica? ¿Qué tipo de operación física correspondería a hacer una transformación de escala en el tiempo?$\dagger$?

$\dagger$Sin embargo, la transformación de escala en el espacio es fácil de entender: implementar$\textbf{r}\to\lambda\textbf{r}$, solo hay que hacer zoom usando una lupa o una resolución cada vez más alta (que es diferente de una conversión de unidades, es decir, hacer medidas en centímetros y metros). No puedo pensar en cuál es la forma análoga de entender la transformación de escala del tiempo.