Construcción general de ecuaciones de movimiento para partículas libres

Hay, en cierto sentido, una manera de 'guiarse' a sí mismo a las ecuaciones de movimiento basadas en las simetrías. La forma de mecánica más adecuada para este propósito es el principio de Hamilton : el sistema toma un camino para el cual la acción tiene un valor estacionario para variaciones con puntos finales fijos:

$$\delta S=0$$

$S$se expresa generalmente como (bajo alguna parametrización de caminos con parámetro$t$):

$$S = \int_{path} L(x, \dot{x})dt$$

Conduciendo a las ecuaciones de movimiento:

$$\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{x}} = \frac{\partial L}{\partial x}$$

Ahora, en general, se espera que la acción respete las simetrías del problema. Considere los siguientes ejemplos:

mecánica newtoniana

Aquí, tenemos partículas donde la posición se da en función del tiempo:$x(t)$. Debido a la invariancia de traslación y rotación respectivamente, requerimos que la acción$S$no depende de ninguna posición o dirección preferida. La forma que efectivamente tenemos es entonces$L = L(|\dot{x}|)$. Además, requerimos que respete la simetría galileana. Para ello requerimos que$\delta S$es invariante bajo$\dot{x} \rightarrow \dot{x}+u$por constante$u$. Esto es posible cuando$L = \frac{1}{2}m\dot{x}^2$, de modo que bajo esta transformación

$$S = \int\frac{1}{2}m\dot{x}^2dt \rightarrow \int\frac{1}{2}m\dot{x}^2dt + \int mu\ dx + \int\frac{1}{2}mu^2dt$$ Los dos últimos términos son solo funciones del punto final de la ruta y, por lo tanto, su variación se desvanece, es decir $\delta\int dx = \delta\int dt = 0$. Esto conduce a la ecuación de movimiento: $$m\ddot{x} = 0$$ o $$\ddot{x} = 0$$

Esta es precisamente la ecuación de movimiento que se obtendría para una partícula libre según la segunda ley de Newton. (Nota: Mecánica se presenta de esta manera, por ejemplo, en Landau y Lifshitz, Mecánica ).

Relatividad especial

Aquí, requerimos que la acción sea invariante bajo las transformaciones de Lorentz, además de ser invariante en traslación. Así, para la acción, elegimos la integral sobre las trayectorias del propio intervalo de espacio-tiempo:

$$S = m\int \sqrt{\eta_{\mu\nu} dx^{\mu} dx^{\nu}}$$

Configuración$\delta S=0$conduce a la ecuación geodésica del movimiento de una partícula libre, es decir, el movimiento es una línea recta en el espacio-tiempo.

No estoy seguro de si esto califica como una forma 'canónica'; es más como hacer conjeturas informadas.