¿La Ley de Coulomb, con la Ley de Gauss, implica la existencia de solo tres dimensiones espaciales?

Si, absolutamente. De hecho, generalmente se considera que la ley de Gauss es la ley fundamental, y la ley de Coulomb es simplemente una consecuencia de ella (y de la ley de fuerza de Lorentz).

De hecho, puede simular un mundo 2D utilizando una carga lineal en lugar de una carga puntual y tomando una sección transversal perpendicular a la línea. En este caso, encuentra que la fuerza (o campo eléctrico) es proporcional a 1/r, no a 1/r^2, por lo que la ley de Gauss sigue siendo perfectamente válida.

Creo que se puede llegar a la misma conclusión a partir de experimentos realizados en láminas de grafeno y similares, que son simulaciones aún mejores de un verdadero universo 2D, pero no conozco una referencia específica para citar para eso.

Yo diría que sí !

De hecho, algunas teorías que explican la gravedad cuántica utilizan también este razonamiento: la gravedad es una interacción muy débil a nivel cuántico porque se "filtra" a otras dimensiones, no observables a nuestra escala, pero que están presentes en esta escala.

Las herramientas matemáticas son diferentes, pero si solo piensas en la ley de Gauss, puedes imaginar una explicación de por qué están presentes dimensiones adicionales en estas teorías.

Es más al revés, diría yo. La ley de Gauss, junto con el hecho de que vivimos en un mundo con 3 dimensiones espaciales, requiere que la fuerza entre las cargas se reduzca a 1/r^2. Pero hay análogos perfectamente consistentes de la electrostática en mundos con 2 o más dimensiones espaciales, cada una de las cuales tiene su propia "ley de Coulomb", con una disminución diferente de la fuerza con la distancia.

Más concretamente, es mucho más obvio que vivimos en un mundo con 3 dimensiones espaciales (¡mira a tu alrededor!) que la fuerza entre cargas tiene una ley del inverso del cuadrado. Entonces, tanto empíricamente como teóricamente, el número de dimensiones espaciales es más fundamental que la ley de fuerza.

En términos generales, la teoría de (super) cuerdas considera dimensiones espaciales adicionales que están "envueltas" (creo que tienen topologías inusuales de alta curvatura). Ahora, por supuesto, es una especulación completa, pero si estas dimensiones existen, el electromagnetismo no se extendería mucho en esas dimensiones, por lo tanto, parecería que solo hay tres dimensiones todavía (en una muy buena aproximación).

Dicho esto, su argumento es más o menos sólido (aunque lejos de ser a prueba de balas). ¡Ciertamente sugiere que no vivimos en un mundo 2D, y que cualquier dimensión adicional posible es comparativamente muy pequeña!

Sí. De hecho, el flujo no será igual a la densidad de carga en otras dimensionalidades sin una modificación similar de la ley de Coulomb según la dimensionalidad.

En particular, en$d$dimensiones, tenemos que

sobre el límite de alguna región espacial$R$solo si el campo de una carga puntual (que se integra para dar el campo de una distribución de carga) tiene la forma

dónde$\rho$se mide como carga por unidad$d$-volumen.

Entonces, la ley de Gauss restringe, pero técnicamente no determina , la ley de Coulomb. Para determinarlo, necesita algunas suposiciones adicionales sobre la simetría y la homogeneidad del espacio y/o las leyes electromagnéticas además de la ley de Gauss, o algunas de las ecuaciones de Maxwell restantes (y esta generalización a dimensiones más altas es más difícil porque involucran rizos. dimensionalidades se convierten en polivectores, creo, como en el álgebra exterior), en particular al menos$\nabla \times \mathbf{E} = \mathbf{0}$para electrostática (en 3D).

Además, curiosamente, creo que no hay átomos enlazados estables en dimensiones$d > 3$con las leyes electromagnéticas habituales. En particular, el$r^{-3}$La ley de Coulomb para 4D y sus análogos superiores conducen a que la ecuación de Schrödinger tenga niveles de energía ilimitados por debajo, lo que significa que incluso la mecánica cuántica que conocemos no salvará a un átomo del colapso. Efectivamente, las paredes del pozo de potencial son demasiado empinadas. Un universo en 4D tendrá que operar de alguna otra manera en diferentes tipos de leyes físicas para que admitan materia estable, mucho menos vida, incluso si tiene algunas fuerzas que son similares a nuestro electromagnetismo.

No necesariamente, porque las teorías extradimensionales pueden equiparse con el proceso de reducción dimensional, que justifica la desaparición de las dimensiones extra en nuestra escala de energía (real). " La compactación es la necesidad de que las dimensiones suplementadas se hagan pequeñas y finitas . o 'acurrucado' ". La Ley de Coulomb será el caso especial de una teoría última en el nivel clásico, como la gravedad newtoniana para la relatividad general.

Aunque otros ya lo han respondido, me gustaría agregar mis pocos pensamientos sobre esto.

Cualquier fuerza (como "fuerza electrostática de coulomb", "fuerza de gravedad de newton") que:

1. Se origina en un punto.
2. Se extiende uniformemente en todas las direcciones.
3. Disminución de la intensidad con la distancia.

Tendrá un flujo = 0 (integral de superficie del campo) en todos los puntos del espacio excepto en el punto de origen.

Esto implica que la divergencia debe ser 0 en todos los puntos del espacio.

Aplicando la fórmula de la divergencia sobre vectores unitarios obtenemos lo siguiente:

1. Para el espacio 3D

$\nabla \frac{1}{r} \hat{r} = \frac{1}{r}$

$\nabla \frac{1}{r^2} \hat{r} = 0$

$\nabla \frac{1}{r^3} \hat{r} = -\frac{1}{r^3}$

$\nabla \frac{1}{r^4} \hat{r} = -\frac{2}{r^5}$

En el espacio tridimensional, la divergencia es 0 solo cuando el denominador es el cuadrado de r. Por lo tanto, las fuerzas son proporcionales al inverso del cuadrado de la distancia desde la fuente.

2. Para el espacio 2D

$\nabla \frac{1}{r} \hat{r} = 0$

$\nabla \frac{1}{r^2} \hat{r} = -\frac{1}{r^3}$

En el espacio 2-D, la divergencia es 0 solo cuando el denominador es solo r. Por lo tanto, las fuerzas son proporcionales a la inversa de la fuente.

3. Para el espacio 4D

$\nabla \frac{1}{r^3} \hat{r} = 0$

En un espacio 4-D, la divergencia es 0 solo cuando el denominador es el cubo de r. Por lo tanto, las fuerzas serán proporcionales al cubo inverso de la distancia desde la fuente.

Referencias:

https://math.stackexchange.com/questions/2136837/divergencia-de-vecf-frac1r2-hatr/2136857#2136857

Creo que su apreciación es correcta si la ley de Gauss se cumple en un mundo bidimensional, entonces la fuerza electrostática debería ser inversamente proporcional a la distancia entre las cargas. Sin embargo, no estoy del todo convencido de que la ley de Gauss pueda ser cierta en un mundo bidimensional porque$F_{q}=k \displaystyle \frac{qq'(r-r')}{|r-r'|^{3}}$es una consecuencia de un espacio tridimensional y dado que derivamos la ley de Gauss de tal ley de fuerza (para ser precisos, de su campo eléctrico), no podemos asumir la validez de la ley de Gauss independientemente de un espacio tridimensional.