Campo eléctrico y potencial eléctrico de una carga puntual en 2D y 1D

El potencial de Coulomb tiene las siguientes formas para una carga positiva en cada dimensionalidad:

$$\begin{align} \Phi_{\operatorname{1-d}}(r) &= -\frac{\sigma}{2\epsilon_0} r, \\ \Phi_{\operatorname{2-d}}(r) &= -\frac{\lambda}{2\pi \epsilon_0} \ln(r),\ \mathrm{and} \\ \Phi_{\operatorname{3-d}}(r) &= \frac{q}{4\pi\epsilon_0} \left(\frac{1}{r}\right). \end{align}$$ La razón de esto es que el campo eléctrico, definido como $-\nabla\Phi$en general y $-\dfrac{\partial\Phi}{\partial r} \hat{r}$en este caso, la medida del límite de una "bola" tiene que ser una constante. En 1-d, una pelota es una línea y la medida de su límite es solo el número de puntos en sus extremos (es decir, 2). En 2-d, la pelota es un círculo y la medida de su límite es la circunferencia (es decir, $2\pi r$). En 3-d, la pelota es una esfera y la medida de su límite es el área de la superficie de la esfera ( $4\pi r^2$). Observe que esas son exactamente las cantidades en el denominador cuando calculamos el campo eléctrico a partir de los potenciales: $$\begin{align} \vec{E}_{\operatorname{1-d}}(r) &= \frac{\sigma}{\epsilon_0} \left(\frac{\hat{r}}{2}\right), \\ \vec{E}_{\operatorname{2-d}}(r) &= \frac{\lambda}{\epsilon_0} \left(\frac{\hat{r}}{2\pi r}\right),\ \mathrm{and} \\ \vec{E}_{\operatorname{3-d}}(r) &= \frac{q}{\epsilon_0} \left(\frac{\hat{r}}{4\pi r^2}\right). \end{align}$$

El nombre de la ley que implica esto se conoce como ley de Gauss.

El truco es usar la ley de Gauss.

Supongamos que el espacio es un plano 2d (¡Planilandia!) y que hay una carga$q$sentado en el origen. La ley de Gauss dice que si encerramos la carga en una esfera$S$(también conocido como un círculo), entonces debemos tener$\int_S \langle \vec{E} , \vec{n}\rangle = 2 \pi q$(en unidades convenientes), donde$\vec{n}$es el vector normal a la circunferencia. si asumes$\vec{E}$es rotacionalmente simétrica, es decir,$\vec{E} = E(r) \hat{r}$, esto se convierte en$E(r) 2\pi r = 2\pi q$, lo que implica que$E(r) = q/r$. Integrando un campo que va como$1/r$te da un potencial logarítmico.

También puedes usar la ley de Gauss en 1d, encerrando la carga en un$0$-esfera (dos puntos, equidistantes del origen). Te dejo que pruebes ese.

La derivación del campo eléctrico para un mundo 2D se puede hacer de varias maneras. Dependería de qué comportamiento de la interacción electrostática desea preservar en ese mundo.

Si le preguntaste a Coulomb, cuando publicó su expresión para la interacción, probablemente habría dicho que la expresión debería ser la misma ($1/r^2$) solo que la distancia$r$sólo implicaría la$x$y$y$dimensiones$r^2=x^2+y^2$.

Sin embargo, cuando Gauss descubrió que la integral de flujo es proporcional a la carga encerrada por ella, la respuesta no es tan fácil. Porque si asumes que un electrón 2D tiene un$1/r^2$campo, entonces tal mundo no obedecería la ley de Gauss. Y si impones que el mundo siga la ley de Gauss, entonces Coulomb viviendo en este mundo 2D habría encontrado un$1/r$ley en su lugar.

Entonces, ¿cuál de las dos propiedades es más fundamental? En mi opinión, la ley de Gauss lo es, pero no tengo forma de probarlo ya que no hay un mundo 2D con el que experimentar.

Mi respuesta a su pregunta, el libro que leyó, basó su declaración sobre el potencial eléctrico de la carga puntual en 2D al asumir tácitamente que la ley de Gauss se cumple para cualquier mundo, independientemente de las dimensiones. Pero no hay pruebas de su veracidad.

Independientemente de las dimensiones, la ecuación de Poisson siempre es verdadera. es decir, si$\phi$es el potencial eléctrico y$\rho$es la densidad de carga entonces,$\nabla^2\phi = \rho/\epsilon_0$. La función de Green de esta ecuación satisface$\nabla^2 G(\vec{x},\vec{x}^\prime) = \delta(\vec{x} - \vec{x}^\prime)$.

Una transformada de Fourier de esta ecuación es$k^2G(\vec{k}) = 1$o$G(\vec{k}) = 1/k^2$. Una transformada 3D inversa dará$1/r$y una transformada 2d inversa dará$\log r$dependencia. También se pueden hacer las matemáticas para el caso 1d para obtener un$r$dependencia.

El punto clave es que la transformada de Fourier de la función de Green del Laplaciano en cualquier dimensión es$1/k^2$. El potencial debido a una carga puntual es simplemente la transformada inversa de Fourier de$1/k^2$en un espacio adecuadamente dimensionado.