Ecuación bidimensional de la ley de Coulomb

Físicamente hablando, las leyes de la electrodinámica son tridimensionales, por lo que debe tomarlas como punto de partida y ver qué implican para cualquier configuración de carga de interés. Una fuerza$F$de forma$\propto\frac{1}{4\pi}\frac{1}{r^2}$cae más rápido que uno que va como$\propto\frac{1}{2\pi}\frac{1}{r}$y así sin más información, la física que se aplica es el comportamiento conocido$\propto\frac{1}{4\pi}\frac{1}{r^2}$, que también puedes escribir como$\propto\frac{\partial}{\partial r}\left(\frac{1}{4\pi}\frac{-1}{r}\right)$

Matemáticamente hablando, lo que haces es calcular$F\propto\text{grad}(G)$, donde la fuerza$F$es el gradiente de un potencial$G$que se da a partir de la ecuación de Poisson en$n$dimensiones, y donde sólo hay una carga en el centro del sistema de coordenadas. Tu fuerza bidimensional es$F\propto \frac{1}{2\pi}\frac{1}{r}= \frac{1}{2\pi}\frac{\partial }{\partial r}\mathrm{ln}(r)$, es decir$G= \frac{1}{2\pi}\mathrm{ln}(r)$. Aquí se da una lista de potenciales similares, de los cuales solo el quinto corresponde a la electrostática en 3 dimensiones:

http://en.wikipedia.org/wiki/Green%27s_function#Table_of_Green.27s_functions

Bueno, seguramente puede considerarlo para tarjetas bidimensionales, pero probarlo experimentalmente simplemente no sería posible. Como ninguna carga conocida por nosotros es bidimensional en su existencia y su influencia eléctrica también se extiende en las 3 dimensiones que conocemos, experimentar y experimentar con 2d no es posible hasta la fecha y, por lo tanto, su hipótesis no se puede probar para su validación.

Al ver la analogía, su extrapolación parece correcta y creo que podemos obtener resultados incluso para un mundo de una sola dimensión o incluso para mundos de múltiples dimensiones. Pero, de nuevo, todo esto no se puede probar ni refutar.

La ley de Gauss es la forma más general de ecuación para describir el campo eléctrico. La ley de Columb para un campo eléctrico arbitrario establece F=q*E. La ley de Gauss en su forma integral dice

D es la densidad de flujo eléctrico, dS es el elemento normal a la superficie, rho es la densidad de carga y dV es el elemento de volumen. Lo que esa ecuación dice físicamente es que la carga confinada en un volumen es igual a la integral de superficie del flujo normal a la superficie de ese volumen. Como ves, es 3D por definición, ya que incluye volumen y superficie. Si probó la ecuación 2 que escribió contra la ley de Gauss, verá que es inconsistente. Es por eso que la ecuación 2 no describe una carga puntual bajo ninguna circunstancia, simplemente porque el flujo a través del "círculo" como lo describiste es parte del flujo total a través de la esfera.

Como regla general, la ley de Gauss se aplica a 3D, cuando desee usar 2D o 1D, debe comenzar desde 3D y hacer las simplificaciones necesarias. Para el uso de 2D, piense en ello como tomar una porción para convertir 3D a 2D. La ley seguirá siendo la misma.

Para que conste, la ecuación 2 tiene una dependencia r que describe una línea cargada infinitamente larga. Ese es uno de los ejercicios comunes que hacen los estudiantes en la clase electromagnética elemental, que es encontrar el campo eléctrico de una línea cargada infinitamente larga usando la ley de Gauss.

Eche un vistazo aquí para obtener una descripción general de la ley de Gauss. En la página 6 ves el ejemplo del que estoy hablando.

Si bien, la respuesta es sí, puede obtener el mismo resultado si comienza con la teoría cuántica de campos. El resultado obtenido de la teoría cuántica de campos es que la fuerza es inversa a la distancia de la dimensión menos una potencia. En dos dimensiones, 2-1=1, por lo que la fuerza es inversa a r. En dimensión N, la fuerza es inversa a$r^{N-1}$.

Pregunta sutil. Aquí está mi opinión.

Matemáticamente en 2D, el flujo será a través de una línea que delimita la carga.$\lambda$(supongamos que es un cargo por ahora). Usando argumentos de simetría, Gauss dice 2$\pi$$r$$E$=$\lambda/c$, por lo tanto obtenemos$E$=2$K\lambda$/r, donde$c$y$K$=1/(4$\pi c$) son análogas a la constante de diel de vacío y la constante de Coulomb. Esto es matemáticamente correcto y puedes confirmarlo directamente integrando la ecuación de Poisson en 2D: obtendrás un potencial logarítmico.

Ahora, por supuesto, hay una cuestión de dimensiones físicas. Para poder$F$=$qE$=2$qK\lambda$/r para estar en Newton (o para que la energía potencial sea una energía) podríamos a) postular que la constante$K$debe estar en Nm/C$^2$en lugar de Nm$^2$/$C^2$, o b) deberíamos revisar nuestra suposición de que$\lambda$es una carga y la vemos como una densidad de carga lineal.

De hecho, en el último caso, el campo anterior es idéntico al campo de un cable cargado de densidad lineal$\lambda$perforando su espacio 2D. Esto parece más satisfactorio que tener que reorganizar las constantes (como$K$) que establecen la escala de la interacción electromagnética.

¿Qué es la carga 2D? No es una buena definición, y deberías ser más cuidadoso. ¿La fuerza será proporcional a la carga o al cuadrado de la carga? ¿La carga 2D en el vórtice es la carga topológica? La cosa en 2D hace diferente.