Importancia de los campos eléctricos de objetos infinitos

He notado un patrón con los campos eléctricos de objetos cargados de infinitas dimensiones.

Una carga puntual, que se puede considerar una carga de 0 dimensiones, tiene un campo eléctrico que va como r − 2 . Una línea infinita de carga, un objeto unidimensional, tiene un campo eléctrico que va como r − 1 . El plano infinito (2D) tiene un campo eléctrico constante, o un campo proporcional a r 0 . Y si uno considera una esfera de carga eléctrica, puede hacer una esfera gaussiana dentro de ella, y este campo eléctrico debería crecer como r 1 .

Estoy tratando de encontrar una explicación para este patrón. La pregunta original que me llevó a considerar esto fue la diferencia entre la línea infinita y el plano infinito: ¿por qué uno depende de r pero el otro no? Se aborda brevemente en Griffiths E&M, donde creo que dice algo como "no puedes alejarte de un plano infinito". Pero por ese razonamiento, tampoco entiendo cómo puedes "escapar" de una línea infinita. El razonamiento tiene sentido si consideras un tablón infinito, un plano que es infinito en una dimensión y finito en otra, de modo que a medida que te alejas, una dimensión se "encoge" mientras que la otra sigue "pareciendo lo mismo". Sin embargo, la línea infinita "perfecta" solo debería tener una dimensión para empezar,

Supongo que mis preguntas son estas: ¿por qué existe este patrón entre las dimensiones de un objeto y su campo? ¿Cómo "escapar" de una línea infinita?

Respuestas (2)

Creo que la respuesta a tu pregunta está en el propio teorema de Gauss.

∮ mi d S ∼ q
y la simetría del sistema, que define la forma de las superficies equipotenciales.

  1. En el caso de una carga puntual existe una simetría rotacional alrededor de cualquier eje que atraviese la carga, por lo que las superficies equipotenciales son esferas cuya área es proporcional a r 2 . Así el campo es ∼ r − 2 ( r es la distancia de la carga)

  2. En el caso de una línea, la simetría rotacional existe solo alrededor de esta línea, por lo que las superficies equipotenciales son cilindros, cuya área (por longitud a lo largo de la línea) es ∼ r (aquí r es la distancia más corta a la línea). Así el campo es ∼ r − 1

  3. Para un plano, las superficies equipotenciales son planos paralelos al plano dado, su área (nuevamente, por unidad de área del plano dado) es independiente de la distancia desde el plano dado, al igual que el campo.

  4. ¡El caso de la esfera no es como los de arriba! Aquí estás dentro de la esfera, por lo que la carga q en la derecha de la ley de gauss también cambia con la distancia desde el centro, proporcionalmente al volumen ∼ r 3 . Las superficies equipotenciales son nuevamente esferas, cuya área es ∼ r 2 , por lo que el campo aumenta linealmente con r . Si estuvieras fuera de la esfera, el campo disminuiría . ∼ r − 2 como en el caso 1.

No me gusta la explicación de "no puedes escapar". Hay una explicación simple con líneas de campo:

En los tres casos, las líneas de campo son líneas rectas desde la carga puntual hasta el infinito. Puede calcular fácilmente la densidad de las líneas de campo para cada objeto. Para una carga puntual, el "número" de líneas de campo a través de cualquier esfera alrededor de la carga puntual es el mismo (como todas las líneas de campo son rectas, tienen que pasar por cualquier esfera centrada en la carga exactamente una vez). la densidad es norte / A , dónde norte es el número de líneas y A es el área superficial de la esfera. Por lo tanto, dado que el número de líneas es constante y la superficie de la esfera es r 2 , la densidad queda como 1 / r 2 .

Para una línea, la densidad solo se adelgaza alrededor de los círculos de la línea. En otras palabras, el número de líneas de campo a través de cada cilindro alrededor de la línea es el mismo. Como el área del cilindro es proporcional a r , la densidad de líneas de campo crece a medida que 1 / r .

Finalmente, para el plano, el número de líneas a través de cualquier plano paralelo al plano es el mismo. Como la superficie no cambia, la densidad es constante (esto también es cierto, porque todas las líneas de campo son paralelas).

La única pregunta que queda es por qué la intensidad del campo es proporcional a la densidad de las líneas de campo. ¿Por qué funciona eso? Supongo que es de alguna manera intuitivo, pero para una respuesta técnica, permítanme referirme a la excelente respuesta de Emilio Pisanty aquí: ¿Por qué tiene sentido la densidad de las líneas de campo eléctrico, si hay una línea de campo en cada punto?

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