¿La invariancia de dilatación/escala implica invariancia conforme?

¿Por qué una teoría cuántica de campos invariante bajo dilataciones casi siempre también tiene que ser invariante bajo transformaciones conformes adecuadas? Mostrar que su teoría favorita de invariantes de dilatación también es invariante bajo transformaciones conformes apropiadas rara vez es sencillo. Se necesita la integración por partes, la introducción de conexiones Weyl, etc., pero, al final del día, casi siempre se puede hacer. ¿Porqué es eso?

Puede buscar el artículo de Polchinski "Scale and Conformal Invariance in QFT" que analiza el problema en detalle. Tal vez ha habido algunos avances desde entonces, pero ese es un buen punto de partida.
Para la teoría del campo 4d, sigue siendo una pregunta abierta si la invariancia de escala implica invariancia conforme. Ha habido algunos trabajos recientes sobre este tema por parte de Slava Rychkov y colaboradores, consulte, por ejemplo, 1101.5385.
Por cierto, dado que la invariancia de escala no implica invariancia conforme, tal vez se pueda reformular la pregunta.
Me gustaría señalar una reseña de Yu Nakayama, disponible en arxiv.org/abs/1302.0884

Respuestas (3)

Como se comentó en respuestas anteriores, la invariancia conforme implica una invariancia de escala, pero lo contrario no es cierto en general. De hecho, puedes echar un vistazo a Scale Vs. Invariancia conforme en la correspondencia AdS/CFT . En ese artículo, los autores construyen explícitamente dos teorías de campo no triviales que son invariantes de escala pero no invariantes conformes. Proceden colocando algunas teorías de campos conformes en un espacio plano sobre fondos curvos por medio de la correspondencia AdS/CFT.

Gracias por eso, de alguna manera me perdí este, es realmente interesante.
Conocía este artículo, pero al leer esta pregunta, me vino a la mente nuevamente (afortunadamente, porque es muy interesante)

Un buen artículo sobre esto: Tutorial sobre escala y simetrías conformes en diversas dimensiones .

La regla general es que 'conforme ⇒ escala', pero lo contrario no es necesariamente cierto (algunas condiciones deben cumplirse), pero, por supuesto, esto varía con la dimensionalidad del problema que está tratando. .

PD: Artículo de Polchinski: Escala e invariancia conforme en la teoría cuántica de campos .

No es una regla empírica que conforme implica escala, es solo un hecho. Las condiciones son principalmente localidad y bajo orden de derivadas, que a veces es impuesta por unitaridad y renormalizabilidad.
@RonMaimon: la invariancia conforme requiere una invariancia de escala en una teoría invariante de Poincaré simplemente debido al conmutador [ k m , PAG v ] = 2 i ( η m v D − METRO m v ) . La notación debe ser obvia.
@AndyS: La existencia misma de D en el grupo conforme es suficiente para mostrar la escala implica conforme --- no es una regla general, es una implicación obvia, eso es lo que el comentario anterior intentaba decir. No necesita el negocio del conmutador para mostrar esto, la dilatación es una transformación conforme en sí misma.
@RonMaimon: Lo que dices no es cierto; necesita el conmutador para probar lo que llama "una implicación obvia". Además, existe una clara distinción entre dilataciones y transformaciones conformes especiales.
@AndyS: Lo que estoy diciendo es verdad y tú estás diciendo tonterías. Las dilataciones son a la invariancia conforme como las rotaciones sobre el eje z son a las rotaciones. Son un caso especial. Si tiene invariancia rotacional, tiene invariancia rotacional alrededor del eje z. Si tiene invariancia conforme, tiene invariancia de dilatación. Este no es un punto discutible, no es un punto difícil, y no sé por qué hace el comentario anterior.
@RonMaimon: No tiene sentido continuar con esta discusión. Sin embargo, para que lo sepas, una dilatación es un cambio de escala de las coordenadas, X m → λ X m , mientras que una transformación conforme especial es una inversión seguida de una traducción seguida de otra inversión, X m → X m + b m X 2 1 − 2 b ⋅ X + b 2 X 2 . El vector mundial b m no puede ser elegido para fingir una dilatación. (Si permite que un local b m , entonces es posible crear una dilatación mediante una transformación conforme local, de la misma manera que es posible crear una rotación mediante una traslación local).
@AndyS: sé lo que es una transformación conforme especial, y el grupo de dilatación es un subgrupo del grupo conforme completo. Las transformaciones conformes especiales no se cierran en un grupo por sí mismas, y junto con las rotaciones y dilataciones forman un grupo. El subgrupo de dilatación es un caso especial del grupo conforme completo y no tiene sentido decir que tiene una teoría conforme sin invariancia de dilatación, es como decir que tiene una teoría rotacionalmente invariante que no es invariante a las rotaciones alrededor del eje z.
@RonMaimon: La pregunta que estoy respondiendo es: "¿Por qué una teoría que es invariante bajo transformaciones conformes especiales también es automáticamente invariante bajo dilataciones?" Esto es muy diferente de la pregunta idiota: "¿Por qué una teoría conforme es invariante bajo dilataciones?".
@AndyS: Ya veo. Entonces estoy de acuerdo. Pero para mí esto parece al revés, ya que la simetría conforme es simetría de dilatación local, por lo que la invariancia de dilatación es una idea más primitiva, y se asume de antemano antes de mostrar la invariancia conforme. Pero esto es solo un punto de vista.

Tal vez esto lo hace:
Traducción: PAG m = − i ∂ m Rotación: METRO m v = i ( X m ∂ v − X v ∂ m ) Dilatación: D = i X m ∂ m Conformidad Especial: C m = − i ( X → ⋅ X → − 2 X m X → ⋅ ∂ )

Entonces la relación de conmutación da:
[ D , C m ] = − i C m
asi que C m actúa como operadores ascendentes y descendentes para los vectores propios del operador de dilatación D . Es decir, supongamos:
D | d ⟩ = d | d ⟩
Por la relación de conmutación:
D C m − C m D = − i C m
asi que
D C m | d ⟩ = ( C m D − i C m ) | d ⟩
y
D ( C m | d ⟩ ) = ( d − i ) ( C m | d ⟩ )

Pero dados los vectores propios de dilatación, es posible definir los operadores de subida y bajada solo a partir de ellos. Y eso define la C m .

PD: lo cogí de:

http://web.mit.edu/~mcgreevy/www/fall08/handouts/lecture09.pdf

Digamos que citó al Sr. McGreevy.
El problema es que simplemente no es cierto que la invariancia de escala implique invariancia conforme. El contraejemplo más simple es alguna teoría de campo de Levy auto-interactuante.
Qué son éstos | d ⟩ kets a los que te refieres? ¿Son campos? Y lo hace d corresponden a la dimensión de escala del campo? Me doy cuenta de que este es un hilo antiguo, por lo que agradecería los comentarios de cualquiera.
¿La invariancia de dilatación/escala implica invariancia conforme?
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