Rastro de desaparición idéntica de TμνTμνT^{\mu\nu} y anomalía de rastro

Question

Rastro de desaparición idéntica de TμνTμνT^{\mu\nu} y anomalía de rastro

Física
invariancia de escala
anomalías cuánticas
teoría cuántica de campos
teoría del campo conforme
tensión-energía-momentum-tensor

apt45

Consideremos una teoría definida por una acción sobre un espacio plano $S[\phi]$ dónde $\phi$ denota colectivamente los campos de la teoría. Estudiaremos la teoría en un contexto general. $g_{\mu\nu}$ y luego configuraremos la métrica para que sea plana.

La función de partición euclidiana de la teoría en presencia de una fuente externa es

\begin{matrix} (1) & Z [j] = \int [d ϕ] {mi}^{- S - \int d^{d} X j O} \end{matrix}

$Z[J] = \int [d\phi] e^{-S -\int d^d x\, J \, \mathcal{O}}\tag 1$

dónde $\mathcal{O}$ puede ser un campo elemental o compuesto (en lo que sigue lo tomaremos como la traza del tensor energía-momento).

Ahora, un resultado muy conocido es que un tensor de momento de energía sin rastro implica invariancia conforme; de hecho, bajo una transformación conforme $g_{\mu\nu} \rightarrow f(x)g_{\mu\nu}$ tal que

\partial_{(m} ϵ_{v)} = F (X) {gramo}_{m v}

$\partial_{(\mu}\epsilon_{\nu)} = f(x) g_{\mu\nu}$

la acción se transforma como

d S = \frac{1}{d} \int d^{d} X T_{m}^{m} \partial_{ρ} ϵ^{ρ}

$\delta S = \frac{1}{d}\int d^d x T^{\mu}_\mu \partial_\rho \epsilon^\rho$

Ahora, otro resultado bien conocido establece que en una métrica de fondo genérica, el valor esperado de $T^\mu_\mu$ no es cero sino que depende de los tensores invariantes de Weyl y de la densidad de Euler, es decir

⟨ T_{m}^{m} ⟩ = \sum a_{i} {mi}_{d} - C_{i} W_{m v ρ . . . .}^{2}

$\langle T^\mu_\mu \rangle = \sum a_i E_d - c_i W_{\mu\nu\rho....}^2$

dónde $\langle T^\mu_\mu \rangle$ generalmente se define por la variación del funcional de vacío conectado $W = \log Z[J]$ bajo variaciones de la métrica.

Primera pregunta. Es $\langle T^\mu_\mu \rangle$ calculable de la manera habitual usando la función de partición? Eso es establecer $\mathcal{O} = T^\mu_\mu$ en la ecuación (1) calculamos

\begin{matrix} (2) & ⟨ T_{m}^{m} ⟩ = \frac{d}{d j} Z [j] |_{j = 0} \end{matrix}

$\langle T^\mu_\mu \rangle = \frac{\delta}{\delta\, J} Z[J]\Big|_{J=0}\tag 2$

Segunda pregunta. Si la respuesta a la primera pregunta es SÍ, entonces esperaría que la $\langle T^\mu_\mu \rangle$ calculado como la variación del funcional de vacío conectado $W[J]$ es el mismo que el calculado en la ecuación (2). ¿Es esto cierto?

Tercera pregunta.

Hay dos formas en que se puede realizar la condición clásica sin rastro:

en la concha ; entonces, $T^{\mu}_\mu$ no es idénticamente cero pero lo es una vez que aplicas la ecuación de movimiento, por ejemplo $\lambda \phi^4$ teoría en d=4.
$T^\mu_\mu$ es idénticamente cero; es decir, no es necesario utilizar la ecuación de movimiento (por ejemplo, campo escalar sin masa en d=2 sobre un fondo curvo)

En el primer caso, ya que $T^\mu_\mu$ se desvanece en la ecuación de movimiento, estoy de acuerdo en que puede recibir correcciones cuánticas mediante el acoplamiento de la teoría a un espacio curvo; todo está bien.

En cambio, en el segundo caso, a saber $T^\mu_\mu$ idénticamente cero, no puedo calcular su valor esperado a partir de la ecuación (1) y la ecuación (2) ya que $\mathcal{O}=0$ idénticamente; es decir, el lado derecho de la ecuación (2) es cero, ya que Z[J] es en realidad independiente de J. Esto implicaría $\langle T^\mu_\mu \rangle=0$ .

¿Sigue siendo cierto que la teoría disfruta de una anomalía sobre un fondo espacial curvo? Yo diría que SÍ, ya que la anomalía depende únicamente de las cargas centrales. ¿Cómo resolver esta aparente contradicción?

apt45

Obtiene un tensor de momento de energía que se puede hacer sin rastro una vez que se aplica la ecuación de movimiento

usuario110373

EOM tiene derivada de segundo orden en campos mientras que

T_{μ ν} = \partial_{μ} ϕ \partial_{ν} ϕ - \frac{1}{2} η_{μ ν} (\partial ϕ)^{2} - \frac{λ}{24} η_{μ ν} ϕ^{4}

$T_{\mu\nu}=\partial_{\mu}\phi\partial_{\nu}\phi-\frac{1}{2}\eta_{\mu\nu}(\partial\phi)^2-\frac{\lambda}{24}\eta_{\mu\nu}\phi^4$ no contiene

\partial^{2} ϕ

$\partial^2 \phi$ .

apt45

el tensor de impulso de energía resulta ser

T^{μ ν} = \partial^{μ} ϕ \partial^{ν} ϕ - η^{μ ν} L

$T^{\mu\nu} = \partial^\mu \phi \partial^\nu \phi -\eta^{\mu\nu} \mathcal{L}$ dónde

L

$\mathcal{L}$ es el lagrangiano. Puede modificarlo sumando una derivada total tal que la ley de conservación fo

T^{μ ν}

$T^{\mu\nu}$ no está estropeado. Entonces, puedes enviar

T^{μ ν} \to T^{μ ν} - 1 / 6 (\partial^{μ} \partial^{ν} - η^{μ ν} ◻) ϕ^{2} = ϕ (◻ ϕ + λ / 3! ϕ^{3}) = 0

$T^{\mu\nu} \rightarrow T^{\mu\nu} - 1/6(\partial^\mu\partial^\nu - \eta^{\mu\nu}\square)\phi^2 = \phi(\square\phi + \lambda/3! \phi^3) = 0$ en la concha

knzhou

@ apt45 ¿Finalmente encontró una solución para esto? Me encuentro con el mismo problema: creo que para un escalar sin masa libre en

d = 2

$d = 2$ ,

T^{μ_{μ}}

$T^{\mu_\mu}$ se desvanece de manera idéntica.

knzhou

¿Tiene tal vez algo que ver con cómo

T^{μ ν}

$T^{\mu\nu}$ se define en la teoría cuántica? Es decir, necesita algo como un pedido normal.

apt45

@knzhou Lo siento, no he encontrado una respuesta exhaustiva a esta pregunta. En realidad, sería pedagógico pasar por el cálculo de la anomalía de la traza en d=2 para un campo escalar libre (donde surge el problema principal). Intentaré echar un vistazo a este problema tan pronto como pueda. Si obtiene una respuesta antes que yo, puede explicarla.

apt45

@knzhou lo siento, ha pasado un tiempo y no recuerdo muy bien el tema original. Ahora entiendo. Si recuerdo correctamente la prueba, el cálculo en d=2 pasa por la acción cuántica y no pude igualar los dos cálculos.

knzhou

Tengo entendido que el operador

T_{μ ν}

$T_{\mu\nu}$ se define en la teoría cuántica como un producto ordenado normal, cf Polchinski Eq. 2.3.15, dando un término extra. Entonces cuando calculamos

⟨ T_{μ}^{μ} ⟩

$\langle T^\mu_\mu \rangle$ con la integral de trayectoria debemos incluir ese término, que no siempre es sin rastro.

yuanyao

@knzhou ¡Su comprensión parece agradable! ¿Tienes más ideas al respecto?

Respuestas (1)

Rastro de desaparición idéntica de TμνTμνT^{\mu\nu} y anomalía de rastro

Obtiene un tensor de momento de energía que se puede hacer sin rastro una vez que se aplica la ecuación de movimiento
EOM tiene derivada de segundo orden en campos mientras que $T_{\mu\nu}=\partial_{\mu}\phi\partial_{\nu}\phi-\frac{1}{2}\eta_{\mu\nu}(\partial\phi)^2-\frac{\lambda}{24}\eta_{\mu\nu}\phi^4$ no contiene $\partial^2 \phi$ .
el tensor de impulso de energía resulta ser $T^{\mu\nu} = \partial^\mu \phi \partial^\nu \phi -\eta^{\mu\nu} \mathcal{L}$ dónde $\mathcal{L}$ es el lagrangiano. Puede modificarlo sumando una derivada total tal que la ley de conservación fo $T^{\mu\nu}$ no está estropeado. Entonces, puedes enviar $T^{\mu\nu} \rightarrow T^{\mu\nu} - 1/6(\partial^\mu\partial^\nu - \eta^{\mu\nu}\square)\phi^2 = \phi(\square\phi + \lambda/3! \phi^3) = 0$ en la concha
@ apt45 ¿Finalmente encontró una solución para esto? Me encuentro con el mismo problema: creo que para un escalar sin masa libre en $d = 2$ , $T^{\mu_\mu}$ se desvanece de manera idéntica.
¿Tiene tal vez algo que ver con cómo $T^{\mu\nu}$ se define en la teoría cuántica? Es decir, necesita algo como un pedido normal.
@knzhou Lo siento, no he encontrado una respuesta exhaustiva a esta pregunta. En realidad, sería pedagógico pasar por el cálculo de la anomalía de la traza en d=2 para un campo escalar libre (donde surge el problema principal). Intentaré echar un vistazo a este problema tan pronto como pueda. Si obtiene una respuesta antes que yo, puede explicarla.
@knzhou lo siento, ha pasado un tiempo y no recuerdo muy bien el tema original. Ahora entiendo. Si recuerdo correctamente la prueba, el cálculo en d=2 pasa por la acción cuántica y no pude igualar los dos cálculos.
Tengo entendido que el operador $T_{\mu\nu}$ se define en la teoría cuántica como un producto ordenado normal, cf Polchinski Eq. 2.3.15, dando un término extra. Entonces cuando calculamos $\langle T^\mu_\mu \rangle$ con la integral de trayectoria debemos incluir ese término, que no siempre es sin rastro.
@knzhou ¡Su comprensión parece agradable! ¿Tienes más ideas al respecto?

M.Jo · Answer 1

La respuesta a tus dos primeras preguntas es positiva: $\langle T^\mu_\mu \rangle$ se puede calcular a partir de la función de partición, y es lo mismo que la variación del funcional de vacío conectado $W[J]$ . Dejaré que alguien más entre en los detalles de una prueba, si es necesario.

Luego hay un poco de confusión en tu tercera pregunta: el hecho de que haya una anomalía te dice exactamente eso $T^\mu_\mu$ nunca es idénticamente cero en el fondo del espacio curvo (excepto quizás en casos muy especiales, pero entonces no hay anomalía). Los términos que escribiste en tu anomalía, es decir, la densidad de Euler y el tensor de Weyl al cuadrado, son tensores de curvatura que desaparecen en el espacio plano. Así siempre encontrarás $\langle T^\mu_\mu \rangle = 0$ con esta anomalía.

Pero esto no significa todavía que $T^\mu_\mu$ es idénticamente cero: todavía podrías tener

⟨ T_{m}^{m} O_{1} \dots O_{norte} ⟩ \neq 0.

$\langle T^\mu_\mu \mathcal{O}_1 \cdots \mathcal{O}_n \rangle \neq 0.$ La cuestión de si todos esos correladores se desvanecen en una teoría en la que

⟨ T_{μ}^{μ} ⟩ = 0

$\langle T^\mu_\mu \rangle = 0$ todavía no está completamente resuelto en dimensiones

d > 2

$d > 2$ .

Si desea leer más sobre el tema, le sugiero que consulte https://arxiv.org/abs/1302.0884 y las referencias que contiene.

Hola M.Jo. El hecho de que una anomalía esté presente en el espacio curvo me dice que el valor esperado de la traza (en un bloque curvo) es diferente de cero. La anomalía que escribí nada dice de su expresión clásica. La contradicción se resuelve fácilmente si cualquier teoría sobre un espacio-tiempo curvo tiene una traza de momento de energía cuya traza no puede ser idénticamente cero clásicamente sin usar ecuaciones de movimiento. pero no se si es verdad
Puedo darte un contraejemplo: la acción del campo escalar sin masa en d=2 disfruta de un $T^\mu_\mu=0$ incluso en el fondo del espacio curvo. Pero en este caso la anomalía sigue presente, ¿verdad?
@ apt45 ¿Estás seguro de que $T^\mu_\mu$ es idénticamente cero en ese caso? Mi conjetura es que solo se desvanece en la ecuación de movimiento, y no hay contradicción. De lo contrario me estarías diciendo que $\langle T^\mu_\mu \rangle \neq 0$ pero $T^\mu_\mu$ es exactamente cero como operador???
@M.Jo Es idénticamente cero y no es difícil de mostrar; el rastro es $(\partial_\mu \phi)(\partial^\mu \phi) - \delta^\mu_\mu (1/2)(\partial_\nu \phi)^2 = 0$ incluso fuera de la cáscara. ¡Tengo la misma pregunta que el OP y realmente agradecería algo de claridad al respecto!
@knzhou, creo que la anomalía modifica la forma clásica del tensor de impulso de energía. La forma que anotaste proviene de variar la acción con respecto a una traslación en la coordenada de posición del campo. Ahora la idea de la anomalía es que en el espacio-tiempo curvo hay una contribución extra proveniente de la medida. Esto no suele escribirse como modificación de la forma de $T_{\mu\nu}$ pero creo que eso es exactamente lo que hace.

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