¿Cómo determinar la longitud de correlación cuando la función de correlación decae como una ley de potencia?

Dejar$C(r)$Sea la función de correlación. La longitud de correlación se define como

$$\xi=-\lim_{r\to\infty}\frac{r}{\log C(r)}$$

Si$C(r)$decae más lentamente que una exponencial, el límite anterior diverge y$\xi=\infty$. Si se descompone más rápido,$\xi=0$.

El comportamiento de una ley de potencia es típico de los sistemas de escala invariante, como un CFT .

Si la función de correlación decae como una ley de potencia, entonces las correlaciones son invariantes de escala (es decir,$C(\lambda r)=\lambda^{-\alpha}C(r)$), que es otra forma de decir que no hay ninguna escala de longitud (macroscópica). En otras palabras, no hay ninguna longitud de correlación, y normalmente se dice que es infinita (ya que las correlaciones invariantes de escala se pueden obtener a partir del límite$\xi\to\infty$de una función no invariante de escala).

En las simulaciones, si el sistema tiene una longitud de correlación finita, se puede suponer que para un impulso pequeño$q$,

$$C(q)=\frac{C(0)}{1+q^2\xi^{2}} .$$ Dado que las simulaciones se realizan en un tamaño de sistema finito $L$, el momento más pequeño distinto de cero es $q=2\pi/L$, y una estimación de la longitud de la correlación es $$\xi_{\rm sim} = \frac{L}{2\pi}\sqrt{\frac{C(0)}{C(2\pi/L)}-1}.$$ En el límite de los tamaños grandes del sistema, esto convergerá a la verdadera longitud de correlación, mientras que divergirá si el sistema es invariable en escala.

Con respecto al significado del decaimiento de una ley de potencia, normalmente hay dos posibilidades. Una es que el sistema está en el punto crítico de una transición de fase (de segundo orden), donde la longitud de la correlación diverge. Otra posibilidad es que el sistema se encuentre en una fase de simetría rota (de una simetría continua), donde los modos de Goldstone dominan la física a larga distancia, ya que son, por definición, sin espacios.