¿Son los puntos fijos de la evolución de RG realmente invariantes en escala?

A menudo se afirma que los puntos en el espacio de las teorías cuánticas de campos para los cuales todos los parámetros son invariantes bajo la renormalización, es decir, puntos fijos de la evolución de RG, son teorías de campos invariantes de escala. Ciertamente esto debería ser una condición necesaria, ya que la teoría debe verse igual en todas las escalas. Sin embargo, tengo dudas de si esto es suficiente.

En la teoría clásica no existe la noción de renormalización, pero sin embargo podemos hablar de teorías invariantes de escala; estas teorías poseen una simetría de dilatación global. Teorías con escalas de masa inherentes, como ϕ 4 teoría con un término cuadrático distinto de cero, no son clásicamente conformes porque carecen de tal simetría. Me parece que la desaparición (¿o quizás la explosión?) de tales acoplamientos dimensionales también debe ser una condición a imponer en una teoría cuántica de campos , si deseamos que sea invariante en escala.

Mi pregunta es entonces: ¿ los acoplamientos dimensionales de todos los puntos fijos en el flujo RG son necesariamente triviales? ¿Es imposible que un punto fijo RG tenga alguna escala de masa? METRO ≠ 0 en su lagrangiano?

Como yo lo veo, o la respuesta es sí , en cuyo caso estar en un punto fijo es suficiente para garantizar la invariancia de escala, o la respuesta es no , en cuyo caso también necesitamos hacer un requisito adicional de nuestras teorías si deseamos que sean conformes, más allá de la desaparición de todas las funciones beta

1. Con respecto a la última oración (v1): si realmente solo está preguntando sobre la invariancia de escala (a diferencia de la invariancia conforme), considere editar la publicación en consecuencia. 2. La cuestión de la escala frente a la simetría conforme se trata, por ejemplo, en esta y esta publicación de Phys.SE.

Respuestas (2)

No, los acoplamientos dimensionales no tienen que estar todos configurados en cero en un punto fijo RG. Un punto fijo RG es aquel en el que todas las funciones beta desaparecen, y las funciones beta generalmente tienen la forma

β ( gramo i ) = ( d i − d ) gramo i + ℏ A i j gramo j + …
dónde d i es la dimensión del operador correspondiente. Si se trunca la serie en O ( ℏ 0 ) entonces la única solución posible es tener gramo i = 0 si d i ≠ 0 , por lo que en la teoría clásica de campos los únicos puntos fijos son la teoría libre sin masa y sin masa ϕ 4 teoría.

En una teoría cuántica de campos, debemos tener en cuenta los diagramas de bucle, que dan términos de orden superior en ℏ . Entonces los ceros de las funciones beta son completamente diferentes; la teoría libre sin masa sigue siendo un punto fijo, llamado punto fijo gaussiano, pero sin masa ϕ 4 la teoría adquiere una escala masiva por transmutación dimensional. Pero este proceso también puede funcionar a la inversa. En este caso hay un nuevo punto fijo, el punto fijo de Wilson-Fisher, donde el término de masa clásico es distinto de cero. Esta es la transmutación dimensional operando a la inversa; la masa se vuelve a normalizar exactamente a cero.

Tu última frase es particularmente interesante. ¿Está diciendo que así como las teorías sin escalas en el lagrangiano pueden desarrollar una escala en la teoría cuántica (como en QCD), las teorías con escalas en el lagrangiano pueden perder esa escala en la teoría cuántica?
@ gj255 Sí, y esto es exactamente lo que sucede, por ejemplo, en el punto fijo de Wilson-Fisher. Hay un término de masa en el Lagrangiano, pero después de la renormalización, ¡la masa de las partículas cuánticas es exactamente cero!

Si todos los acoplamientos son cero, entonces estás sentado en el punto fijo gaussiano trivial. El ser un punto fijo se caracteriza por la desaparición de las funciones beta (algunas derivadas de los acoplamientos como funciones de escala), no la de los acoplamientos en sí.

Además, en general, la invariancia de escala no implica invariancia conforme. Necesitas algo extra como un tensor de energía-momento sin rastro. El estudio de este tema es un área activa de investigación, consulte la revisión "Scale invariance vs conformal invariance" de Nakayama.

Mi pregunta es si todos los acoplamientos dimensionales son cero. Si un punto fijo RG tiene algún acoplamiento dimensional distinto de cero, entonces afirmo que no es conforme.
Hablar de acoplamientos dimensionales no tiene mucho sentido aquí porque tienes que tomar un límite singular y realmente los únicos valores posibles para ese límite son 0 y ∞ . Toma Ising/ ϕ 4 en 3d entonces el dimensional ϕ 4 el acoplamiento es cero en el punto fijo gaussiano trivial pero ∞ en el punto fijo no trivial de Wilson-Fisher.
Correcto, entonces el acoplamiento dimensional siempre es trivial en algún sentido. ¿Es esto cierto para todas las teorías en puntos fijos?
Diría que sí, pero de nuevo estamos hablando de una cantidad sin sentido. Siri tiene una buena respuesta a "¿qué es cero dividido por cero?" tal vez Siri también tenga uno para "¿cuál es el acoplamiento dimensional de un punto fijo RG?"
¿Son los puntos fijos de la evolución de RG realmente invariantes en escala?
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