CFT y el teorema de Coleman-Mandula

El teorema de Coleman-Mandula establece que bajo ciertas suposiciones aparentemente leves sobre las propiedades de la matriz S (aproximadamente: los estados de una partícula se dejan invariantes y las amplitudes son analíticas en momentos externos) el álgebra de mentira más grande posible de simetrías de a (no -trivial) La matriz S está dada por Poincaré por una simetría interna.

Por otro lado, existen teorías de campo (interactuantes) cuyos lagrangianos son simétricos bajo la extensión conforme del grupo de Poincaré, y en algún caso raro esta propiedad se conserva incluso a nivel cuántico.

¿Por qué las QFT invariantes conformes (que interactúan) no contradicen el teorema? ¿Es posible definir una matriz S en estas teorías? He leído en alguna parte que no admiten una interpretación de partículas, ¿qué significa exactamente?

Respuestas (2)

De alguna manera respondiste la pregunta tú mismo. En CFT no existe la noción de "partículas": bultos individuales de energía que existen independientemente unos de otros cuando están lo suficientemente lejos unos de otros. Otras formas de decir lo mismo: el espacio de Hilbert de la teoría no se organiza naturalmente en un espacio de Fock, o no hay descomposición de grupos. Todo esto se deriva de la falta de escala en la teoría. Como resultado, la reducción de LSZ que depende de la contracción de los estados asintóticos apropiados no funciona (si intenta forzarla, encontrará divergencias de IR que no se pueden reanudar). Entonces, como dices, la matriz S no existe, que es la laguna del teorema de Coleman Mandula.

buenos puntos, estoy seguro de que todos ya saben esto, pero es bueno notar que todas las divergencias IR se eliminan efectivamente si el espacio-tiempo es compacto, por lo que estas teorías deberían seguir siendo interesantes en tales espacios
Claro, si coloca cualquier límite de IR en forma de espacio finito, la teoría ya no es conforme y hay observables IR finitos. Aún así, estos no son la matriz S porque ya no hay "infinito". Otro tipo de corte IR, como masas finitas, hará que la matriz S esté bien definida, pero entonces la teoría ya no es conforme y, en consecuencia, el teorema de Coleman-Mandula se cumple.
Lo siento, lo que dije no tenía ningún sentido. Creo que nunca tuve una idea real de cuánto estamos obligados a aceptar las súper álgebras de Lie como la única forma de relajar las condiciones de este teorema altamente restrictivo. ¿Es posible moverse haciendo ligeras perturbaciones al álgebra de Poincaré? (como por ejemplo, los conmutadores para generadores de espacio-tiempo tienen correcciones de pequeño orden en otros generadores de espacio interior y viceversa), ¿qué otras alternativas hay? ¿Están completamente agotados?
@Lurscher: el teorema CM es parte de un período intenso en el que la gente trató de extender la idea de la gran unificación para incluir simetrías espaciotemporales. Todos fallaron, lo que motivó a CM a dar un resultado general. Hay otras lagunas excepto CFT, algunas ya señaladas en el propio documento de CM (por ejemplo, QFT bidimensional). Cualquier teorema de no-go puede tener algunas lagunas adicionales que violan los supuestos de alguna manera sutil, pero en esta etapa la carga de la prueba recae en cualquier persona que intente revivir esta vieja idea de mezclar simetrías internas y espaciotemporales (escuché que podría haber una o dos..).
Gracias por la respuesta. Después de publicar la pregunta, me di cuenta de que en la hipótesis también existe el requisito de tener una brecha de masa en la teoría y los CFT están claramente excluidos. Si entiendo bien lo que está diciendo, también la construcción LSZ se basa en la brecha de masa, de lo contrario, se obtendrían divergencias IR. Si este es el caso, ¿cómo es posible definir la dispersión en teorías con partículas sin masa? ¿Qué pasa con las teorías de calibre?

Haag-Lopuszkanski-Sohnius en su artículo de 1975 donde discuten sobre la supersimetría explicaron cómo extender el teorema de Coleman-Mandula en el caso de que la teoría tenga un espectro que no contenga excitaciones masivas. Su resultado es que el grupo de Poincaré se puede extender al grupo conforme correspondiente. Esto también se revisa cuidadosamente en Weinberg III, cap. 24, aplicación B.

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