La definición del campo transformado en CFT

Estoy un poco desconcertado por lo que la gente llama "el campo transformado" en CFT. La definición habitual de la función invariante de escala es

$$\begin{equation} \phi(\lambda z) = \lambda^\Delta \phi(z) \end{equation}$$ Claramente, tenemos lo mismo $\phi$tanto en LHS como en RHS. La generalización natural de esta definición es $$\begin{equation} \phi(f(z)) = \left(\dfrac{\partial f}{\partial z}\right)^\Delta \phi(z) \end{equation}$$ De nuevo, tenemos lo mismo $\phi$a ambos lados.

Ahora, después de hacer el cambio de variables$z\to f(z)$, (para mí) tendría sentido introducir una nueva función definida como

$$\begin{equation} \phi'(z) \equiv \phi(f(z)) \end{equation}$$

Sin embargo, en los libros estándar de CFT encuentro algo completamente opuesto. Es decir, por alguna razón, la gente pone prima en el LHS de las dos primeras ecuaciones que escribí.

"Introducción a la teoría de campos conformes con aplicaciones a la teoría de cuerdas" por Blumenhagen y Plauschinn:

"Teoría del campo conforme" de Di Francesco, Mathieu y Senechal:

Siento que tengo un vacío en la comprensión conceptual... ¿Por qué ponen números primos? Claramente, para definir una función$\phi$al tener alguna propiedad especial, debemos tenerla en ambos lados, al igual que en la definición habitual de la función invariante de escala.