Dejar sea un semigrupo. Suponer
¿Cómo podemos probar que es un grupo?
Es conceptualmente muy simple que un inverso derecho es también un inverso izquierdo (cuando también hay una identidad derecha). Se sigue de los axiomas anteriores en dos pasos:
1) Cualquier elemento con la propiedad [es decir, idempotente] debe ser igual a la identidad en los axiomas, ya que en ese caso:
Esto ya prueba la unicidad de la identidad [correcta], ya que cualquier identidad por definición tiene la propiedad de ser idempotente.
2) Por los axiomas, para todo elemento hay al menos un elemento inverso derecho tal que . Ahora formamos el producto de los mismos dos elementos en orden inverso, a saber , para ver si ese producto también es igual a la identidad. Si es así, este inverso derecho es también un inverso izquierdo. Solo tenemos que demostrar que es idempotente, y luego su igualdad con sigue del paso 1:
3) Ahora está claro que la identidad de derecha es también una identidad de izquierda. Para cualquier :
4) Para mostrar la unicidad de la inversa:
Dado cualquier elemento y tal que , entonces
Aquí, como arriba, el símbolo se usó por primera vez para denotar un representante derecho inverso del elemento . Ahora se ve que este inverso es único. Por lo tanto, el símbolo significa ahora una operación de "inversión" que constituye una función univaluada sobre los elementos del conjunto.
Ver Richard A. Dean, "Elements of Abstract Algebra" (Wiley, 1967), pp 30-31.
Supongo que (a) debería leer tal que , . Para cada tenemos
multiplicando a la derecha por rendimientos
entonces para todos .
Agregado: Lo anterior obviamente asume que es una identidad de izquierda , que no fue dada, y de alguna manera ninguno de nosotros la captó en ese momento. Aquí hay un argumento corregido. Para cada tenemos
entonces
En otras palabras, es tanto un inverso izquierdo como derecho para . Resulta que
entonces es una identidad tanto de izquierda como de derecha para . Ahora puedes usar los argumentos usuales para mostrar que la identidad y los inversos son únicos. (Por ejemplo, si fuera otra identidad, tendríamos , porque es una identidad de izquierda y es una identidad correcta.)
Esto se establece con identidad por la izquierda e inversa por la izquierda como la Proposición 20.4 en el libro Spindler: Abstract Algebra with Applications . Permítame copiar aquí la prueba de este libro (debería ser fácil para usted cambiarla por la derecha en lugar de la izquierda):
Dejar ser arbitrario. Queremos demostrar que el inverso izquierdo es de hecho también un derecho inverso. Dejar . Entonces
Por esoes decir que era lo que queríamos mostrar.Ahora probamos que el elemento neutral a la izquierda es también un elemento neutral a la derecha. Dejar ser arbitrario; queremos establecer que . Ahora
Busqué en Google un poco y descubrí que varios autores toman esto de hecho como una definición de grupo, aquí están algunos de los primeros resultados de los libros de Google al buscar el grupo "inverso izquierdo" "identidad izquierda" :
La mayoría de las pruebas que he visto contienen muchas ecuaciones ingeniosas. La motivación detrás de estas ecuaciones no está muy clara. Aquí presento una prueba más intuitiva.
Para cualquier elemento en , podemos mapearlo a una función , simplemente define . Podemos ver que cada elemento de identidad correcto se asigna a la función de identidad ,
queremos mostrar . Porque , nos preguntamos si . Intuitivamente eso debería ser cierto ya que y ambos y son biyectivas. Para una prueba que solo asume que uno de ellos es inyectivo, vea Lemma a continuación.
Ahora eso , probar es un inverso izquierdo, solo necesitamos mostrar que para cualquier y , implica . tratamos de calcular :
La unicidad del elemento identidad es inducida por la unicidad de la función identidad, por implica , y también la unicidad de los elementos inversos es inducida por la unicidad de las funciones inversas.
Así que hemos probado es un grupo
lema _ Dejar y ser dos conjuntos arbitrarios. Dejar ser una función y ser otra funcion . Suponer es inyectivo y , entonces .
prueba _ Dejar , queremos mostrar que . Dejar . Aplicar a ambos lados,
Entonces .
La respuesta de Martin, pero usando una notación que puede ser más fácil de seguir.
Dejar ser un semigrupo tal que tenga una identidad correcta , y que cada uno de sus elementos tiene un inverso derecho; es decir,
Mostramos que es de hecho un grupo:
Dejar .
Por lo tanto, es idempotente, y podemos usar eso para mostrar que es en realidad un inverso de dos lados:
Entonces eso es también de dos caras:
Esto basta para demostrar que es un grupo
Esto nos permite demostrar rápidamente que cualquier semigrupo en el que y están determinados de forma única es también un grupo:
Dejar ser un semigrupo con tales propiedades, y ser un elemento de ese grupo. Sabemos debe tener una solución única, llamémosla . Entonces para cualquier :
Donde la primera igualdad también se debe a siendo determinado de manera única. Ahora tenemos todo lo que necesitamos: es una identidad correcta, y cada elemento de tiene inversa.
Pensar en los elementos de un semigrupo como funciones hace que la prueba de este hecho sea mucho más fácil de entender.
Para , podemos definir una función . Por la existencia de inversas derechas, tenemos:
Habiendo demostrado que es biyectiva, es muy fácil deducir que es también una identidad de izquierda. existe un tal que . Cancelando el es multiplicando con por la derecha concluimos que , entonces para todos .
Además, mostrar que los inversos a la derecha también son inversos a la izquierda también es fácil. existe un tal que . De nuevo multiplicando por de la derecha, obtenemos , entonces para todos .
En resumen, es en realidad una identidad de dos caras, y es en realidad el inverso de dos lados de .
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Derek Holt
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Matemago1234
Derek Holt
TresFx
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