Evolución de estado coherente para un hamiltoniano no habitual dado

Estoy tratando de calcular la evolución temporal de un estado coherente$|\alpha\rangle$usando un hamiltoniano dado de la forma:

$$\hat{H}=\hbar \omega(\hat{a}^{\dagger}\hat{a}-\alpha(\hat{a}+\hat{a}^{\dagger})).$$ - Mi primer intento ha sido encontrar la acción del $\hat{H}$sobre un estado de Fock $|n\rangle$debido al hecho de que puedo expresar los estados coherentes en términos de los estados de Fock: $$|\alpha\rangle=e^{\frac{-\alpha^{2}}{2}}\sum_{n=0}{\frac{\alpha^{n}}{n!}}|n\rangle,$$ y usando eso $f(\hat{H})|n\rangle=f(h_{n})|n\rangle$atacar el $e^{-i\hat{H}t/\hbar}$que aparece al calcular la evolución temporal.

Mi problema es : he encontrado$\hat{H}|n\rangle$ser:

$$\hat{H}|n\rangle=\hbar \omega (n|n\rangle-\alpha\sqrt{n}|n-1\rangle-\alpha\sqrt{n+1}|n+1\rangle,$$ donde estoy atascado ya que no es de la forma $\hat{H}|n\rangle\propto |n\rangle$así que no sé qué hacer con el exponencial: $$e^{i\hat{H}t/\hbar}|n\rangle=e^{-i\omega t (\hat{a}^{\dagger}\hat{a}-\alpha(\hat{a}+\hat{a}^{\dagger}))}|n\rangle=?$$ Intenté manipular el término exponencial usando la fórmula BCH pero no logré nada más que un resultado desordenado.

EDITAR : Aquí agrego mi respuesta lograda usando la fórmula BCH:

$$|\alpha(t)\rangle=e^{\frac{-\alpha ^{2}}{2}}e^{\frac{-\omega^{2}t^{2}(1+\alpha ^{2})}{2}}\sum_{n=0}\frac{\alpha ^{n}}{n!}e^{-i \omega t (n-\alpha \sqrt{n+1}-\alpha \sqrt{n})}|n\rangle,$$ lo que parece, para mi ojo inexperto, estar equivocado. Gracias de antemano.