Adjunto del operador de evolución temporal

Question

Adjunto del operador de evolución temporal

Invenietis

El operador de evolución temporal $\hat U$ se define de modo que $\Psi(x,t)=\hat U(t)\Psi(x,0)$ . En términos del hamiltoniano, se expresa como $\hat{U}(t)=\exp \left(-\frac{i t}{\hbar} \hat{H}\right)$ . Estoy tratando de calcular el conjugado adjunto $\hat U^\dagger(t)$ .

Mi intento de solución

debe satisfacer $\langle \hat{U}(t) \Psi(x,0) | \Phi(x,0) \rangle=\langle \Psi(x,0) | \hat{U}^\dagger(t)\Phi(x,0) \rangle$ , entonces

\int_{- \infty}^{+ \infty} {\hat{tu}}^{⋆} (t) Ψ^{⋆} (X, 0) Φ (X, 0) d X = \int_{- \infty}^{+ \infty} Ψ^{⋆} (X, 0) {\hat{tu}}^{†} (t) Φ (X, 0) d X

$\int _{-\infty}^{+\infty} \hat{U}^\star(t) \Psi^\star(x,0) \Phi(x,0) dx=\int _{-\infty}^{+\infty} \Psi^\star(x,0)\hat{U}^\dagger(t)\Phi(x,0)dx$

Yo sé eso $\hat U$ es unitario, entonces $\hat U^\dagger(t)=\hat U^{-1}(t)=\hat U^{\star}(t)$ , pero, sin utilizar esta información, ¿podría la expresión de $\hat U^\dagger(t)$ deducirse de la expresión anterior?

qmecanico

Publicación relacionada de OP: physics.stackexchange.com/q/576729/2451

usuario2820579

Tenga en cuenta que para calcular el adjunto, no necesita el estado del vector en una base específica. Una definición equivalente y de hecho más general es

| Ψ (t) >= U (t) | Ψ (t = 0) >

$|\Psi(t)>=U(t)|\Psi(t=0)>$ .

Respuestas (1)

Adjunto del operador de evolución temporal

Publicación relacionada de OP: physics.stackexchange.com/q/576729/2451
Tenga en cuenta que para calcular el adjunto, no necesita el estado del vector en una base específica. Una definición equivalente y de hecho más general es $|\Psi(t)>=U(t)|\Psi(t=0)>$ .

usuario2820579 · Answer 1

Probablemente sea más limpio hacerlo por series.

\begin{aligned} {tu}^{†} (t) & = {(\sum_{norte = 0}^{\infty} \frac{1}{norte!} {(\frac{- i t}{ℏ})}^{norte} H^{norte})}^{†} \\ = \sum_{norte = 0}^{\infty} \frac{1}{norte!} {({(\frac{- i t}{ℏ})}^{norte})}^{†} (H^{norte})^{†} \\ = \sum_{norte = 0}^{\infty} \frac{1}{norte!} {(\frac{i t}{ℏ})}^{norte} H^{norte} \\ = Exp (i t H / ℏ), \end{aligned}

$\begin{equation} \begin{split} U^\dagger(t)&=\left(\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!}\left(\frac{-it}{\hbar} \right)^n H^n\right)^\dagger\\ &=\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!}\left(\left(\frac{-it}{\hbar} \right)^n \right)^\dagger (H^n)^\dagger\\ &=\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!}\left(\frac{it}{\hbar} \right)^n H^n\\ &=\exp(it H/\hbar), \end{split} \end{equation}$

desde $H$ es hermitiano.

Otra posibilidad es comenzar con la ecuación de Schrödinger, calcular el adjunto y finalmente derivar y resolver una ecuación para $U^\dagger$ siempre que $<\Psi(t)| = <\Psi(t=0)|U^\dagger$ .

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usuario2820579

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usuario2820579

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