Enfoque alternativo a la derivada

No se puede definir la derivada como tal. Por ejemplo, deja$a=b=0$y

$$f(x)\equiv |x|, g(x)\equiv |x|, h(x)\equiv 0.$$ Entonces$f'(a)$no está bien definida pero

$$\lim_{x\to b}\frac{f(g(x))-f(h(x))}{g(x)-h(x)}=\lim_{x\to 0}\frac{|x|-0}{|x|-0}=1.$$

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Ahora, bajo circunstancias especiales, su límite puede ser igual a$f'(a).$Por ejemplo, para$f$continuamente diferenciable en$a$y$g,h$continuamente diferenciable en$b$con$g'(b)\neq h'(b)$entonces la regla de L'Hopital nos dice

$$\lim_{x\to b}\frac{f(g(x))-f(h(x))}{g(x)-h(x)}=\lim_{x\to b}\frac{f'(g(x))g'(x)-f' (h(x))h'(x)}{g'(x)-h'(x)}=f'(a).$$