función estrictamente decreciente fff convexa, es f′(x+δ)−f′(x)f′(x+δ)−f′(x)f'(x+\delta)-f'(x) convexa

Question

función estrictamente decreciente fff convexa, es f′(x+δ)−f′(x)f′(x+δ)−f′(x)f'(x+\delta)-f'(x) convexa

cálculo
funciones
derivados
Matemáticas
análisis real
análisis convexo

Sr. X

Suponga que tiene una función diferenciable convexa estrictamente decreciente $f(x)$ , $x \in \Bbb R^+$ , me pregunto si el incremento de la primera derivada también es convexo; es decir,

gramo (X) = F^{'} (X + d) - F^{'} (X)

$g(x) = f'(x+\delta) - f'(x)$ dónde

δ

$\delta$ es cualquier número positivo.

Lo que concluí:

puedo decir eso $f'(x)$ es una función estrictamente creciente, también porque $f(x)$ es estrictamente decreciente, $f'(x)$ siempre es negativo, lo que significa que aumenta y se aproxima a cero cuando $x \to \infty$ , ahora puedo visualizar $f'$ como cóncavo y la diferencia: $f'(x+\delta)-f'(x)$ ser decreciente pero no estoy seguro de cómo mostrar su convexidad (si lo es).

Gerw

La convexidad de

g

$g$ equivaldría a

g^{″} (x) = f^{‴} (x + δ) - f^{‴} (x) \geq 0

$g''(x) = f'''(x+\delta) - f'''(x) \ge 0$ . No veo ninguna razón por la que esto debería ser cierto.

Sr. X

Gracias @gerw, lo que mencionaste es correcto, me engañaron algunos ejemplos en mente.

Respuestas (1)

función estrictamente decreciente fff convexa, es f′(x+δ)−f′(x)f′(x+δ)−f′(x)f'(x+\delta)-f'(x) convexa

La convexidad de $g$ equivaldría a $g''(x) = f'''(x+\delta) - f'''(x) \ge 0$ . No veo ninguna razón por la que esto debería ser cierto.
Gracias @gerw, lo que mencionaste es correcto, me engañaron algunos ejemplos en mente.

Julián Aguirre · Answer 1

Para completar el comentario de Gerw y evitar dejar la pregunta sin respuesta, permítanme dar un contraejemplo explícito.

La pregunta (dejar $g=f'$ ) es equivalente a la siguiente: Si $g\colon(0,\infty)\to\mathbb{R}$ es continua, estrictamente creciente y acotada superiormente, es $g(x+\delta)-g(x)$ convexo para $\delta>0$ ? Aquí hay un contraejemplo:

gramo (X) = \frac{X - pecado X}{1 + X - pecado X} .

$g(x)=\frac{x-\sin x}{1+x-\sin x}.$ Tenemos

{gramo}^{'} (X) = \frac{1 - porque X}{(1 + X - pecado X)^{2}} \geq 0, 0 \leq gramo (X) \leq 1.

$g'(x)=\frac{1-\cos x}{(1+x-\sin x)^2}\ge0,\quad 0\le g(x)\le1.$

g

$g$ es creciente, acotado arriba y

lim_{x \to \infty} g (x) = 1

$\lim_{x\to\infty}g(x)=1$ , pero no es cóncava. Aquí está la gráfica de

g (x + δ) - g (x)

$g(x+\delta)-g(x)$ para

δ = 0, 1 + 0, 2 k

$\delta=0,1+0,2\,k$ ,

k = 0, 1, 2, 3, 4

$k=0,1,2,3,4$ .

ingrese la descripción de la imagen aquí

Claramente $g(x+\delta)-g(\delta)$ no es convexo.

Si quieres un contraejemplo en términos de $f$ dejar

F (X) = \int_{0}^{X} (gramo (t) - 1) d t .

$f(x)=\int_0^x(g(t)-1)\,dt.$

función estrictamente decreciente fff convexa, es f′(x+δ)−f′(x)f′(x+δ)−f′(x)f'(x+\delta)-f'(x) convexa

Sr. X

Gerw

Sr. X

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Julián Aguirre

Sr. X

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