La fórmula de la fuerza ejercida sobre un dipolo eléctrico por un campo eléctrico no uniforme

Cuando un dipolo eléctrico de momento PAG se encuentra en un campo eléctrico no uniforme mi , se ejerce una fuerza neta sobre él.

Sin embargo, la fórmula de la fuerza en algunos libros se lee F = ∇ ( PAG · mi ) , mientras que en otros libros, es F = ( PAG · ∇ ) mi . Obviamente, las dos fórmulas no son lo mismo. Entonces, ¿cuál es la verdadera?

Respuestas (1)

Ambas fórmulas son equivalentes, si estás en la aproximación electrostática y tu vector dipolar no depende de la posición r .

Consideremos la expresión F = ∇ r ( pag ⋅ mi ) que se puede obtener fácilmente de la función de energía potencial

tu = − pag ⋅ mi

y su relación con la fuerza F = ∇ r tu . Ahora, recuerda la identidad vectorial

∇ r ( a ⋅ b ) = ( a ⋅ ∇ r ) b + ( b ⋅ ∇ r ) a + a × ( ∇ r × b ) + b × ( ∇ r × a )

para a = a ( r ) y b = b ( r ) dos vectores arbitrarios. Para pag = a ≠ pag ( r ) [independiente de la posición] y b = mi ( r ) tenemos

∇ r ( pag ⋅ mi ) = ( pag ⋅ ∇ r ) mi + ( mi ⋅ ∇ r ) pag + pag × ( ∇ r × mi ) + mi × ( ∇ r × pag )

Como el vector dipolar no depende de la posición, podemos eliminar el segundo y el cuarto término. En la aproximación electrostática, la ley de Faraday dice ∂ t B = 0 ⇔ ∇ r × mi ( r ) = 0 [esto se conoce como ''ley de Carn''] de modo que el campo eléctrico es irrotacional y el rizo desaparece. Entonces podemos eliminar el tercer término y

∇ r ( pag ⋅ mi ) = ( pag ⋅ ∇ r ) mi

para que sus definiciones concuerden.

¡Gracias por tu respuesta! Pero creo que la función de energía potencial tu = − pag ⋅ mi sólo es válido en el campo eléctrico uniforme. ¿Cómo puedes probarlo para un dipolo en el campo no uniforme?
Sí, puede usarlo para campos eléctricos no uniformes siempre que la escala de variación de longitud característica de este último sea mayor que la longitud del dipolo, de modo que el dipolo experimente cambios suaves en la intensidad y dirección del campo eléctrico. En otras palabras, para el dipolo el campo eléctrico es localmente constante.
Para el dipolo el campo eléctrico es localmente constante, quiere decir que la carga positiva y la carga negativa del dipolo sienten el mismo campo eléctrico. ¡Para que no haya fuerza neta! ¿Cómo explicar esto?
Quizás no estaba claro... No digo que tenga que ser constante sino que las variaciones del campo eléctrico sean suaves. Lo que tengo en mente es que puedes hacer una expansión de Taylor válida de mi ( r ± ) alrededor del centro del dipolo r 0 . De hecho, también puede derivar la expresión de la fuerza usando este método.
La expresión para la energía potencial, sin embargo, es válida para todos los campos eléctricos aunque en los libros se encuentra la derivación solo para el caso de campo eléctrico externo constante.
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