Explicación sobre las fuerzas resultantes de dos cargas puntuales positivas

Primero un comentario sobre las siguientes declaraciones hechas por Kitchi y Wouter:

Las líneas de fuerza siempre tienen que ser suaves, no puede haber una curva pronunciada en ellas como en tu segundo diagrama.

y

El comentario de @Kitchi básicamente lo dice todo: las líneas de fuerza deben ser continuas y diferenciables y nunca deben cruzarse.

Estas declaraciones son incorrectas sin calificación, y aquí hay dos razones por las cuales:

1. Las líneas de campo eléctrico de una carga puntual consisten en rayos, todos los cuales se cruzan en la ubicación de la carga puntual. Además, el campo no es suave en la ubicación de la carga puntual (ni siquiera es continuo allí, ya que hay una singularidad).

2. Hay una discontinuidad en el campo eléctrico al atravesar una carga superficial con densidad de carga$\sigma$, de hecho la discontinuidad es proporcional a la densidad de carga superficial;

   $$(\mathbf{E}_2 - \mathbf E_1)\cdot \mathbf n = \frac{\sigma}{\epsilon_0}$$

Si desea hacer alguna declaración sobre la suavidad de las líneas de campo eléctrico (que debe tratar de evitar llamar "líneas de fuerza"), entonces realmente necesita hacer algunas otras calificaciones que excluyan tales casos.

En segundo lugar, estas justificaciones de suavidad son, hasta cierto punto, perder el bosque para los árboles, por así decirlo. Richard realmente aborda el quid de la cuestión. La forma de obtener el campo debido a una distribución de carga es invocando el principio de superposición . Esto descarta inmediatamente el segundo diagrama que dibujaste porque si simplemente sumas los campos de las dos cargas puntuales vectorialmente, verás que las líneas de campo se ven como las dibujaste en el primer diagrama.

¡Es fácil ver que la segunda trama está equivocada! Por ejemplo, considere la línea en$45^o$de la carga izquierda. Dice que la dirección del campo eléctrico es$45^o$. Pero hay que sumar los vectores de campo eléctrico de ambas cargas en ese punto (en cualquier punto) que no puede estar en$45^o$de la línea horizontal!

El comentario de @Kitchi básicamente lo dice todo: las líneas de fuerza deben ser continuas y diferenciables y nunca deben cruzarse.
¡Lo anterior en general no es cierto! La respuesta de @joshphysics aborda esto y establece algunos contraejemplos muy flagrantes. También entra correctamente en la razón de la forma real de las líneas (que podrías encontrar matemáticamente usando la Teoría Clásica de Campos ). Mi respuesta (la parte a continuación) es principalmente un intento de mostrar por qué la segunda imagen es incorrecta utilizando argumentos físicos bastante básicos.

Desde un punto de vista diferente, menos matemático: las leyes de la física se presumen deterministas (al menos para el electromagnetismo, imagino que hay áreas de estudio donde no se hace esta presunción). Así que miremos tu dibujo y sigamos el camino de una partícula, digamos a lo largo de la línea verde que apunta hacia la parte superior izquierda. Después de un rato te metes en la línea naranja. Ahora, si inviertes el tiempo (una forma de verificar el determinismo), sigues la línea naranja hacia abajo hasta llegar al punto de división. Ahí tienes un problema, porque podrías ir en cualquier dirección y no puedes determinar de forma determinista (sin juego de palabras) qué camino tomar. Entonces el determinismo falla. Esta es otra forma de ver por qué su imagen no puede ser el caso. La primera imagen no sufre de este problema.

De hecho, acabo de darme cuenta de que ni siquiera tienes que invertir el tiempo: puedes considerar una partícula con carga opuesta que comienza en la línea naranja. Entonces hay un gran problema cuando esta partícula alcanza el punto de división. Este problema no ocurre en la primera imagen, donde las líneas de fuerza se juntan infinitamente después de un tiempo, pero nunca se superponen.
Lo bueno entonces es que el comportamiento de la partícula rastreada tendrá una hipersensibilidad a las condiciones iniciales. Por ejemplo, si tiene la partícula en una posición inicial en lo alto del eje vertical y solo un poco hacia la derecha para que gire hacia la derecha, podría mover su posición inicial ligeramente hacia la izquierda y hacer que su trayectoria gire completamente hacia el otro lado. Pero me estoy saliendo del tema.