"Encuentre la fuerza neta que el hemisferio sur de una esfera uniformemente cargada ejerce sobre el hemisferio norte"

Este es Griffiths, Introducción a la electrodinámica, 2.43, si tiene el libro.

El problema plantea Encuentre la fuerza neta que el hemisferio sur de una esfera uniformemente cargada ejerce sobre el hemisferio norte. Exprese su respuesta en términos del radio$R$y el cargo total$Q$. Nota: diré que su carga uniforme es$\rho$.

Mi intento de solución:

Mi idea es encontrar el campo generado por el hemisferio sur en el hemisferio norte y usar el campo para calcular la fuerza, ya que el campo es fuerza por unidad de carga.

Para ello empiezo introduciendo una capa gaussiana con radio$r < R$centrado en el mismo lugar que nuestra esfera. Entonces en esta esfera,

$$\int E\cdot\mathrm{d}a = \frac{1}{\epsilon_0}Q_{enc}$$

ahora que es$Q_{enc}$? me siento como$Q_{enc} = \frac{2}{3}\pi r^3\rho$, ya que solo estamos contando la carga de la mitad inferior de la esfera (la parte que está en el hemisferio sur de nuestra esfera original). (Quizás aquí está mi error, ¿debería contar la carga de toda la esfera?, si es así, ¿por qué?)

Usando esto obtenemos

$$\left|E\right|4\pi r^2 = \frac{2\pi r^3\rho}{3},$$ asi que $$E = \frac{r\rho}{6\epsilon_0}.$$ Usando estos, calculo la fuerza por unidad de volumen como $\rho E$o $$\frac{\rho^2 r}{6\epsilon_0}$$

Entonces, por simetría, sabemos que cualquier fuerza neta ejercida sobre la capa superior por la parte inferior debe estar en el$\hat{z}$dirección, por lo que obtenemos

$$F = \frac{\rho^2}{6\epsilon_0} \int^{2\pi}_0\int^{\frac{\pi}{2}}_0\int^R_0 r^3\sin(\theta)\cos(\theta) \mathrm{d}r\mathrm{d}\theta\mathrm{d}\phi$$

integrando obtenemos$F = \frac{1}{4}\frac{R^4\rho^2\pi}{6\epsilon_0}$.

Ahora Griffiths nos pide que pongamos esto en términos de la carga total, y para hacerlo escribimos$\rho^2 = \frac{9Q^2}{16\pi^2R^6}$

Enchufando esto de nuevo en$F$obtenemos

$$F = (\frac{1}{8\pi\epsilon_0})(\frac{3Q^2}{16R^2})$$

Ahora el problema es que esto está fuera de lugar por un factor de$2$...

Traté de mirar hacia atrás y el único lugar que veo donde de alguna manera podría ganar un factor de$2$es el lugar que mencioné en la solución, donde podría incluir el cargo completo, sin embargo, no veo por qué debería incluir el cargo completo, así que si esa es la razón, estaría muy agradecido si alguien pudiera explicarme por qué debe incluir el cargo completo.

Si ese no es el motivo, y tal vez este intento de solución es simplemente una completa tontería, le agradecería que me dijera cómo debo resolver este problema. (pero no es necesario que me lo resuelvas por completo).