Encuentre la fuerza neta que el hemisferio sur de una esfera uniformemente cargada ejerce sobre el hemisferio norte.
Soy perfectamente consciente de que esta pregunta se ha hecho muchas veces ( aquí ), ¡pero me sorprende que no haya podido encontrar una solución utilizando la integración tomando elementos!
Traté de tomar discos elementales y luego los integré para todo el hemisferio, pero mi respuesta no coincidía con la respuesta correcta.
Aquí está mi trabajo:
Se sabe que para un disco uniformemente cargado, con densidad de carga , el campo eléctrico en un punto sobre su eje está dado por , dónde es el ángulo entre el eje y la línea que une el punto con la circunferencia del disco.
Y para un disco elemental, por lo que el campo total se debe dar integrando la expresión de a , entonces
Desde , obtenemos finalmente y para la fuerza la multiplicaremos por .
Lo cual es totalmente diferente de la respuesta correcta. Qué estoy haciendo mal ?
Entonces finalmente entiendo mi error como lo señaló @Triatticus de que asumí el hemisferio norte como una carga puntual, y eso no es correcto. Requiere calcular la fuerza usando integración y estoy presentando una solución que no requiere integración usando coordenadas polares como se hace en la publicación vinculada:
Procediendo tomando una capa gaussiana de radio , aplicamos la ley de Gauss como
Ahora, necesitamos la fuerza total aplicada sobre cada carga elemental debido a este campo. Está claro que la fuerza estaría en la dirección vertical hacia arriba pasando por el centro de la esfera debido a la simetría.
Fuerza aplicada sobre una carga elemental es dado por y por tanto la fuerza total viene dada integrando esta expresión, es decir
Ahora, ¿qué significa la integral recordarnos? Recuerde que en mecánica, la posición del centro de masa de un cuerpo de masa es dado por , entonces, lo que podemos inferir de esto es que, usando una analogía similar, aplicamos toda esta fuerza en el centro de masa del hemisferio norte. Es un resultado estándar que el centro de masa de una esfera sólida está a la distancia de desde el centro entonces usando , y sustituyendo el valor de en términos de , obtenemos la fuerza neta como
Triático