Aceleración de la partícula "mantenida en su lugar" en x = 1x = 1x = 1 [cerrado]

Por favor, no publiques soluciones completas a preguntas de tipo tarea. Nuestra política sobre esto se puede encontrar aquí , que incluye: "Si alguien publica una respuesta a una pregunta de tipo tarea que revela una solución completa o casi completa, en la mayoría de los casos se eliminará temporalmente". Considere eliminar esta respuesta usted mismo.

@garyp: " Por favor, no publiques soluciones completas a preguntas de tarea. [...] " -- Tenga en cuenta que la respuesta de jld (en la versión actual anterior) se deja incompleta deliberadamente al incluir " Si resuelve el Christoffel símbolos (eso te lo dejo a ti)... " . Aún más importante, la respuesta de jld parece estar (solo) derivando un valor de aceleración de coordenadas y, por lo tanto, parece no estar abordando el OP del usuario 265817 en absoluto (que en su lugar pide determinar la aceleración y la fuerza).

@garyp Disculpas. Eliminé la respuesta final, así como la expresión de cuatro aceleraciones.

@ user12262 Derivé tanto la aceleración de la coordenada x Y la aceleración física (adecuada) (magnitud de 4-acel). Simplemente resultaron ser iguales debido a la forma de la métrica ( $g_{11}=1$).

jld: " Derivé [...] la aceleración física (adecuada) (magnitud de 4-accel). " -- No estoy convencido de que sea equivalente. Parece que comienzas con una cantidad manifiestamente dependiente de las coordenadas: $$u^{\mu} = \frac{dx^{\mu}}{d\tau}.$$ No veo qué podría tener que ver esta "coordenada de cuatro velocidades", por ejemplo, con $$\gamma_{\mathbf v}(c, \mathbf v);$$ y en consecuencia no veo cuál es la cantidad $|a|$calculas a partir de $u^{\mu}$podría tener que ver, por ejemplo, con $$\| \mathbf a \| := \|~\frac{d}{d\tau}[~\mathbf v~]\mid_{\mathbf v = \vec 0}~\|.$$ pd +1 por su forma de abordar una pregunta de tarea.

@user12262 Los componentes $u^\mu = \frac{d x^\mu}{d \tau}$ciertamente dependen de las coordenadas. Las cantidades $dx_\mu dx^\mu$y $u_\mu u^\mu$son coordenadas invariantes. En coordenadas curvilíneas/no inerciales, la definición del cuatro vector de aceleración hace uso de la conexión a través de una derivada covariante: $$a^{\mu} := u^{\nu} \nabla_\nu u^{\mu}.$$ Esto se hace para asegurar que $a_\mu a^\mu$también es invariante y corresponde al cuadrado de la magnitud de la aceleración que la partícula realmente experimentaría. Gracias por el +1 :)

jld: " [...]$a_{\mu}a^{\mu}$también es invariante " -- Ok, entonces mi "aceleración de coordenadas" no estaba justificada. (Mis disculpas y gracias por haberme ayudado con esta idea). Es (la "magnitud de cuatro aceleraciones al cuadrado") es de hecho un inequívoco y (con respecto a las estipulaciones OP) cantidad específica. O (recordando la versión anterior de su respuesta): ¿es quizás solo un número real simple ("sin dimensión")? Todavía me pregunto cómo / si se relaciona con la cantidad (dimensional) $$\|~\frac{d}{d\tau}[~\mathbf v~]\mid_{\mathbf v = \vec 0}~\|$$ (pero esto puede no haber sido necesariamente la pregunta OP).

@ usuario12262 En general: $$\mathbf a = (\mathbf v \cdot \nabla) \mathbf v$$ dónde $\nabla$es la derivada covariante. Cuando la métrica es Minkowskiana el operador $\mathbf v \cdot \nabla$reduce a $d/d \tau$, sin embargo, esto no es cierto en general. Las cantidades parecen adimensionales porque en GR tendemos a trabajar en unidades geométricas donde c=G=1.

jld: " En general: $\mathbf{a = (v \cdot \nabla) v}$" -- Arriba teníamos (coordenada de cuatro velocidades) $u^{\mu}$con componentes dependientes de coordenadas; mientras me presentaba $\mathbf v$a diferencia de. Permítanme explicar su norma independiente de coordenadas para el caso plano: $$\| \mathbf v_{PQ}[~A~] \| := \text{lim}_{\{s^2[~\varepsilon_{AP},\varepsilon_{AQ}~]\rightarrow 0\}}[ \sqrt{(\text{Max}_{\{J,K\}}[~s^2[~\varepsilon_{PJ},\varepsilon_{QK}~]~])~/~s^2[~\varepsilon_{AP},\varepsilon_{AQ}~]}],$$ para los participantes $P,Q$en reposo wrt. entre sí (es decir, en particular con duraciones de ping mutuas constantes e iguales).

jld: " Cuando la métrica es Minkowskiana el operador$v \cdot \nabla$reduce a$d/d\tau$" -- Bueno, eso no es exactamente lo mismo que aplicar $d/d\tau$rotundamente en cualquier caso. " Las cantidades parecen adimensionales porque en GR tendemos a trabajar en unidades geométricas donde$c=G=1$. " -- Pero, en particular, reintroduciendo " $c$" como un símbolo dimensional (distinto de cero) en las fórmulas adimensionales anteriores no parece restaurar la dimensión apropiada de $\mathbf a$. (Y seguramente de manera similar para $G$, también.) Entonces, ¿qué falta?

@ user12262 No estoy familiarizado con la notación que está usando en el primer comentario. "Bueno, eso no es lo mismo que aplicar$d/d \tau$rotundamente en cualquier caso". Tienes razón, no lo es. Esa definición de aceleración se elige porque el operador $d/d \tau$no mapea tensores sobre tensores mientras el operador $\mathbf v \cdot \nabla$hace. "Pero, en particular, reintroducir "c"... Entonces, ¿qué falta?" La función cosh(x) implica x adimensional. Si está trabajando en unidades más comunes, la función debería ser cosh (Ax) para la constante A con dim. $[L]^{-1}$.

jld: " No estoy familiarizado con la notación que está usando [...] " -- ¿Presenta esto una dificultad para hacer coincidir mi notación con la notación que podría estar usando para el mismo propósito? ¿O tal vez, en cambio, no está familiarizado con el propósito en sí? Esta pregunta y estos preliminares pueden ser útiles. " Si está trabajando en unidades más comunes [entonces...] " -- Seguramente un valor particular de una cantidad dimensional es independiente de elecciones particulares de unidades; y tampoco es cualquier valor de coordenada.

@ user12262 Esas preguntas no ayudaron. ¿Inventaste esta notación tú mismo o la obtuviste de alguna otra fuente? Si es lo último, por favor reenvíalo :). "Seguramente, un valor particular de una cantidad dimensional es independiente de elecciones particulares de unidades; y tampoco es cualquier valor de coordenadas". Lo que digo es que la pregunta planteada asume que las longitudes no tienen dimensiones. De lo contrario, la función cosh(x) no tiene sentido. Así que se podría decir que la pregunta se expresó mal. Si la pregunta se planteara mejor, usaría cosh (Ax).

jld: "¿ Inventaste tú mismo esta notación o la obtuviste de alguna otra fuente? Si es lo último, por favor, envíala " -- Con mucho gusto; ver mis comentarios recientes allí . " la pregunta planteada asume que las longitudes son adimensionales. [...] Así que se podría decir que la pregunta se expresó mal. " -- Eso es lo que estaba tratando de señalar. Por supuesto, mi queja no es solo para el escritor OP @ user265817 sino también para aquellos que respondieron sin ser críticos; y, para ser justos, seguramente a ciertas personas que inspiraron que se hiciera una pregunta tan mal expresada.