Diferentes firmas

Estaba trabajando en los símbolos de Christoffel, una vez donde la métrica que estoy usando tiene una firma (+---) y otra vez donde tiene una firma (-+++) porque dos libros tenían firmas diferentes y tuve que buscar cualquier inconsistencias Tenía los símbolos de Christoffel iguales para ambos pero las curvaturas ( R m v ) tiene signos opuestos. ¿Porqué es eso?

Respuestas (2)

Si se apega a una convención entre muchas otras convenciones, debería obtener los mismos resultados independientemente de la firma de la métrica. Aquí sigo las convenciones de Carroll: http://amzn.com/0805387323 o http://arxiv.org/abs/gr-qc/9712019 .

Para el símbolo de Christoffel, tenemos

Γ m v λ = 1 2 gramo λ ρ ( ∂ m gramo v ρ + ∂ v gramo ρ m − ∂ ρ gramo m v ) .
Entonces, si cambia la firma de la métrica gramo m v → − gramo m v , tiene el mismo símbolo de Christoffel. Como un mismo argumento, la definición de curvatura de Ricci es
R m v = R a m λ v λ
donde la curvatura de Riemann solo depende del símbolo de Christoffel y su derivada. Por lo tanto, tenemos la misma curvatura de Ricci, incluso si cambiamos la firma de la métrica.

Solo una pregunta adicional: el escalar de Ricci cambiará de signo, ¿verdad?
@Prahar Sí, Ricci escalar R = gramo m v R m v cambiará de signo.
A veces veo la curvatura de Ricci (que es una suma de derivados si los símbolos de Christoffel y los símbolos de Christoffels se multiplican entre sí) a veces como ( ∂ Γ − ∂ Γ + Γ Γ − Γ Γ ) y otras veces como ( − ∂ Γ + ∂ Γ − Γ Γ + Γ Γ ) , donde el último caso se usó en uno de esos libros con la convención (+---) y el primero se usó en uno (-+++). ¿Será por eso que tengo dos respuestas de signos opuestos en mis curvaturas de Ricci? @Minkyoto
@ Beyond-formulas Sí, creo que sí. Si define la curvatura de Riemann según la firma de la métrica como indicó, obtiene el mismo escalar de Ricci en ambos casos, como lo verifica fácilmente.
Estaba preguntando sobre la curvatura de Riemann, no sobre el escalar. Entonces, si defino la curvatura de Riemann según la firma de la métrica, obtengo curvaturas de Ricci de signos opuestos.
@ Beyond-formulas Sí, tienes razón.

La firma es una convención (tanto en relatividad especial como en relatividad general).

Pero en la relatividad general hay muchas convenciones diferentes además de la firma. La portada interior de Misner Thorne and Wheeler enumera las convenciones para la firma, para el tensor de Riemann, para el tensor de Einstein y para el uso de índices griegos y latinos y enumera 34 textos y las convenciones que utilizan. Y luego deletrea en el lado opuesto dónde van los letreros.

Entonces es solo otra convención y el tensor de Ricci hereda la convención del tensor de Riemann pero desafortunadamente también depende de una convención para el tensor de Einstein. Entonces, incluso si conoce la convención de uno de esos tensores, aún no conoce el signo del tensor de Ricci.

Por lo tanto, también deberá prestar atención a la convención para el tensor de Einstein, así como a la convención para el tensor de Riemann.

Y la ecuación de Einstein en sí misma puede verse diferente dependiendo de la convención para el tensor de Einstein.

Finalmente, ese libro se publicó en la década de 1970, por lo que tal vez los libros más nuevos hayan decidido romper aún más convenciones. No puedo decir que he leído absolutamente todos los libros nuevos.

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