La forma explícita del mapa continuo lineal φ:RI→Rφ:RI→R\varphi:\mathbb R^I \to \mathbb R

Question

La forma explícita del mapa continuo lineal φ:RI→Rφ:RI→R\varphi:\mathbb R^I \to \mathbb R

continuidad
Matemáticas
topología general

Analista

@Jochen sugirió otra solución en su comentario para este problema. La solución depende del resultado a continuación.

Dejar $I$ Sea un conjunto de índices. dotamos $\mathbb R^I$ con la topología del producto. Dejar $\varphi:\mathbb R^I \to \mathbb R$ ser continuo lineal. Entonces hay un subconjunto finito $I_0$ de $I$ y una colección $(\beta_i)_{i\in I_0}$ de números reales tales que
$φ ((X_{i})_{i \in I}) = \sum_{i \in I_{0}} β_{i} X_{i} \forall (X_{i})_{i \in I} \in R^{I} .$ $\varphi((x_i)_{i\in I}) = \sum_{i\in I_0} \beta_i x_i \quad \forall (x_i)_{i\in I} \in \mathbb R^I.$

Mi intento: Por $j\in I$ , dejar $y^j \in \mathbb R^I$ tal que $y_i^j = \delta_{ij}$ . Dejar $I_0 := \{j \in I \mid \varphi (y^j) \neq 0\}$ .

Suponga lo contrario que $I_0$ es infinito. WLOG, suponemos $I_0 := (j_n)_{n\in \mathbb N}$ . Dejar $(\alpha_n)$ ser una secuencia en $\mathbb R$ . Definimos una secuencia $(z_n)$ por $z_n := \alpha_0 y^{j_0} + \cdots + \alpha_n y^{j_n}$ . Es fácil ver que $z_n \to z\in \mathbb R^I$ con $z_j = 0$ si $j \notin I_0$ y $z_j = \alpha_n$ si $j=j_n \in I_0$ . Porque $\varphi$ es lineal continua, $\varphi(z_n) = \alpha_0 \varphi(y^{j_0}) + \cdots + \alpha_n \varphi(y^{j_n}) \to \varphi(z)$ . Es posible construir una secuencia. $(\alpha_n)$ tal que $\varphi(z_n) \to \infty$ . Esto es una contradicción.

Dejar $x \in \mathbb R^I$ tal que $x_i=0$ para todos $i \in I_0$ . Tenemos

\begin{aligned} φ ((X_{i})_{i \in I}) & = φ (\sum_{i \in I_{0}} X_{i} y^{i} + \sum_{i \in I ∖ I_{0}} X_{i} y^{i}) \\ = \sum_{i \in I_{0}} X_{i} φ (y^{i}) + φ (\sum_{i \in I ∖ I_{0}} X_{i} y^{i}) . \end{aligned}

$\begin{aligned} \varphi((x_i)_{i\in I}) &= \varphi \left (\sum_{i\in I_0} x_i y^i + \sum_{i\in I \setminus I_0} x_i y^i \right) \\ &= \sum_{i\in I_0} x_i \varphi \left ( y^i \right ) + \varphi \left( \sum_{i\in I \setminus I_0} x_i y^i \right). \end{aligned}$

Entonces estoy atascado en probar $\varphi \left( \sum_{i\in I \setminus I_0} x_i y^i \right) = 0$ . Porque $I \setminus I_0$ es posiblemente infinito, no podría usar

φ (\sum_{i \in I ∖ I_{0}} X_{i} y^{i}) = \sum_{i \in I ∖ I_{0}} X_{i} φ (y^{i}) = \sum_{i \in I ∖ I_{0}} X_{i} \cdot 0 = 0.

$\varphi \left( \sum_{i\in I \setminus I_0} x_i y^i \right) = \sum_{i\in I \setminus I_0} x_i \varphi(y^i) = \sum_{i\in I \setminus I_0} x_i \cdot 0 = 0.$

¿Podría dar más detalles sobre cómo superar esta dificultad?

Corram

¿Está claro que la ecuación de Jochen se cumple si

I_{0}

$I_0$ se permite que sea infinito?

Analista

@Corram En mi prueba fallida, demuestro que

I_{0}

$I_0$ debe ser finito, así que no entiendo tu idea. ¿Podrías elaborar más?

Corram

Solo era una pregunta aclaratoria. ¿Ya sabemos que

φ ((x_{i})_{i \in I}) = \sum_{i \in I_{0}} β_{i} x_{i}

$\varphi((x_i)_{i\in I}) = \sum_{i\in I_0} \beta_i x_i$ debe aguantar para algunos

I_{0}

$I_0$ si eso

I_{0}

$I_0$ se permite que sea infinito? De modo que entonces solo tendríamos que demostrar que siempre podemos elegir que

I_{0}

$I_0$ ser finito.

Analista

@Corram Todavía no lo sabemos.

Respuestas (2)

La forma explícita del mapa continuo lineal φ:RI→Rφ:RI→R\varphi:\mathbb R^I \to \mathbb R

¿Está claro que la ecuación de Jochen se cumple si $I_0$ se permite que sea infinito?
@Corram En mi prueba fallida, demuestro que $I_0$ debe ser finito, así que no entiendo tu idea. ¿Podrías elaborar más?
Solo era una pregunta aclaratoria. ¿Ya sabemos que $\varphi((x_i)_{i\in I}) = \sum_{i\in I_0} \beta_i x_i$ debe aguantar para algunos $I_0$ si eso $I_0$ se permite que sea infinito? De modo que entonces solo tendríamos que demostrar que siempre podemos elegir que $I_0$ ser finito.

Henno Brandsma · Answer 1

Sugerencia para una mejor idea de prueba: considere $\phi^{-1}[(-1,1)]$ que está abierto en $\Bbb R^I$ y contiene $0$ (por linealidad sabemos $\phi(0)=0$ ).

Entonces, para un subconjunto básico $\prod_{i \in I} U_i$ tenemos todo eso $U_i$ son barrios abiertos de $0$ en $\Bbb R$ , y hay un finito $I_0 \subseteq I$ de modo que $i \notin I$ implica $U_i=\Bbb R$ y

\prod_{i \in I} {tu}_{i} \subseteq ϕ^{- 1} [(- 1, 1)]

$\prod_{i \in I} U_i \subseteq \phi^{-1}[(-1,1)]$

Mi afirmación es que esto $I_0$ es según lo requerido para su resultado, y puntos con soporte externo $I_0$ debe mapear a $0$ bajo $\phi$ .

Esto es tan eficiente. Completé los detalles y lo publiqué como respuesta. ¿Podrías tener un control sobre eso?

Analista · Answer 2

Para $i\in I$ , dejar $y^i \in \mathbb R^I$ tal que $y^i_j = \delta_{ij}$ . Dejar $U := \varphi^{-1} [(-1, 1)]$ . Hay un subconjunto finito $I_0 \subseteq I$ y una colección $(U_i)_{i\in I}$ de subconjuntos abiertos de $\mathbb R$ tal que $U_i = \mathbb R$ para todos $i \in I_0^c := I \setminus I_0$ y eso

V := \prod_{i \in I} {tu}_{i} \subseteq tu .

$V := \prod_{i\in I} U_i \subseteq U.$

Resulta que $n\sum_{i\in I^c_0} x_iy^i \in V$ para todos $n \in \mathbb N, x_i\in \mathbb R$ . Como consecuencia,

φ (norte \sum_{i \in I_{0}^{C}} X_{i} y^{i}) = norte φ (\sum_{i \in I_{0}^{C}} X_{i} y^{i}) \in (- 1, 1) \forall norte \in norte .

$\varphi \left (n\sum_{i\in I^c_0} x_iy^i \right) = n \varphi \left (\sum_{i\in I^c_0} x_iy^i \right) \in (-1, 1) \quad \forall n\in \mathbb N.$

Entonces

φ (\sum_{i \in I_{0}^{C}} X_{i} y^{i}) = 0 \forall X_{i} \in R .

$\varphi \left (\sum_{i\in I^c_0} x_iy^i \right) = 0 \quad \forall x_i \in \mathbb R.$

Finalmente,

\begin{aligned} φ (\sum_{i \in I} X_{i} y^{i}) & = φ (\sum_{i \in I_{0}} X_{i} y^{i} + \sum_{i \in I_{0}^{C}} X_{i} y^{i}) \\ = φ (\sum_{i \in I_{0}} X_{i} y^{i}) + φ (\sum_{i \in I_{0}^{C}} X_{i} y^{i}) \\ = φ (\sum_{i \in I_{0}} X_{i} y^{i}) = \sum_{i \in I_{0}} X_{i} φ (y^{i}) . \end{aligned}

$\begin{aligned} \varphi \left (\sum_{i\in I} x_iy^i \right) &= \varphi \left ( \sum_{i\in I_0} x_iy^i + \sum_{i\in I^c_0} x_iy^i \right) \\ &= \varphi \left ( \sum_{i\in I_0} x_iy^i \right ) + \varphi \left ( \sum_{i\in I^c_0} x_iy^i \right) \\ &= \varphi \left ( \sum_{i\in I_0} x_iy^i \right ) = \sum_{i\in I_0} x_i\varphi ( y^i) . \end{aligned}$

Esto completa la demostración.

La forma explícita del mapa continuo lineal φ:RI→Rφ:RI→R\varphi:\mathbb R^I \to \mathbb R

Analista

Corram

Analista

Corram

Analista

Respuestas (2)

Henno Brandsma

Analista

Henno Brandsma

Analista

Una pregunta sobre la continuidad de las acciones grupales

Un Mapa es continuo en la imagen inversa del conjunto (−∞,r](−∞,r](-\infty,r]. ¿Esta imagen inversa es un conjunto cerrado?

Extendiendo un homeomorfismo del disco abierto al límite.

Biyección continua que no es un homeomorfismo.

XXX es conexo si no hay sobreyección continua X→{0,1}X→{0,1}X \rightarrow\{0,1\}

Homeomorfismo-Topología

¿Toda función continua tiene un orden de desaparición?

Álgebra sigma de Borel y mensurabilidad de funciones continuas

Cómo demostrar que la composición de dos caminos es continua

problema 4, cap. 4 en Baby Rudin: una imagen continua de un subconjunto denso es denso en el rango.