Biyección continua que no es un homeomorfismo.

Dada la función F : [ 0 , 2 π ) → S 1 , φ ↦ ( porque ⁡ ( φ ) , pecado ⁡ ( φ ) ) t . Muestra esa F es continua y una biyección, pero no un homeomorfismo.

Eso F es continuo es claro, ya que cada componente es continuo. Además es continua diferenciable.

Cuando quiero mostrar, que F es una biyeccion es facil de ver, que F es inyectiva, ya que para

F ( X ) = F ( y ) ⇔ ( porque ⁡ ( X ) , pecado ⁡ ( X ) ) = ( porque ⁡ ( y ) , pecado ⁡ ( y ) ) ⇔ porque ⁡ ( X ) = porque ⁡ ( y ) ∧ pecado ⁡ ( X ) = pecado ⁡ ( y ) ⇔ X , y ∈ [ 0 , 2 π ) X = y

Pero, ¿cómo puedo mostrar que F es una sobreyección?

Para mostrar que F no es un homeomorfismo, tengo que verificar, que F − 1 no es continuo. ¿Puedo usar el teorema de la función inversa?

Yo obtengo:

D F ( φ ) = ( − pecado ⁡ ( φ ) 0 0 porque ⁡ ( φ ) )

Con determinante det ⁡ D F ( φ ) = − pecado ⁡ ( φ ) porque ⁡ ( φ )

Dónde D F ( φ ) no es invertible para φ = 0 .

Gracias de antemano por las sugerencias y comentarios.

Puedes demostrar que no es un homeomorfismo mostrando que los dos espacios son diferentes. ¿Qué sucede cuando quitas un punto del intervalo? ¿Qué pasa con el círculo?
¿Puedes explicar qué es? φ ↦ ( porque ⁡ ( φ ) , pecado ⁡ ( φ ) ) t , ¿por favor? y t ?
@Piquito t observa el vector transpuesto. Es por estetica. en lugar de escribir ( porque ⁡ ( φ ) pecado ⁡ ( φ ) ) escribes simplemente ( porque ⁡ ( φ ) , pecado ⁡ ( φ ) ) t .
@SteveD Si elimina un punto del intervalo, ya no está conectado, pero el círculo permanecerá conectado. Me gustaría la forma "más elemental" de resolver esto. ¿Está mal mi enfoque? ¿Se podría arreglar? ¿Qué tal si mostramos eso? F es una sobreyección?
@Cornman: Entiendo, gracias.
No estoy seguro de cómo algo podría ser más elemental que quitar un punto :)
@SteveD Bueno, pero necesita saber qué significa conectado y que un homeomorfismo conserva esta propiedad.

Respuestas (2)

La función F es sobreyectiva porque si ( X , y ) ∈ S 1 , hay un θ ∈ [ 0 , 2 π ) tal que ( X , y ) = ( porque ⁡ θ , pecado ⁡ θ ) ; sólo toma θ = arccos ⁡ X si y ⩾ 0 y θ = 2 π − arccos ⁡ X de lo contrario.

Y F − 1 es discontinuo porque límite norte → ∞ ( porque ⁡ ( 2 π − 1 norte ) , pecado ⁡ ( 2 π − 1 norte ) ) = ( 1 , 0 ) = F ( 0 ) , pero límite norte → ∞ F − 1 ( porque ⁡ ( 2 π − 1 norte ) , pecado ⁡ ( 2 π − 1 norte ) ) no existe (en [ 0 , 2 π ) ).

Cómo se consigue límite norte → ∞ pecado ⁡ porque ⁡ ( 2 π − 1 norte ) ) = 0 ? ¿No debería ser pecado ⁡ ( 1 ) ≠ 0 ?
creo que te refieres a solo pecado ⁡ ( 2 π − 1 norte ) y es un error tipográfico.

Para ver que la inversa no es continua nota que existe una secuencia de puntos ( y norte ) calle y norte → ( 1 , 0 ) pero F − 1 ( y norte ) → 2 π ≠ F − 1 ( 1 , 0 ) = 0. Considere la secuencia de puntos dada por

( porque ⁡ ( 2 π − norte − 1 ) , pecado ⁡ ( 2 π − norte − 1 ) )
Por ejemplo.

como sabes que F − 1 ¿es?
Una vez que demuestres que el mapa es sobreyectivo (ver la otra respuesta) e inyectivo (como has mostrado), por y ∈ S 1 , F − 1 ( y ) es el valor único de X ∈ [ 0 , 2 π ) tal que F ( X ) = y . Hay al menos uno de esos valores de X desde F es sobreyectiva y como máximo un valor de X desde F es sobreyectiva. Esta es la definición de F − 1 . En particular F − 1 ( y norte ) = 2 π − norte − 1 dónde y norte = ( porque ⁡ ( 2 π − norte − 1 ) , pecado ⁡ ( 2 π − norte − 1 ) ) .
Biyección continua que no es un homeomorfismo.
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