Dejar Sea una función continua inyectiva y sobreyectiva. Si es compacto con respecto a y es Hausdorff con respecto a Entonces, ¿cómo podemos demostrar que Qué es un homeomorfismo?
Sé que todas las aplicaciones biyectivas bicontinuas son homeomorfas. Aquí se da que esta aplicación es biyectiva y continua, ¿cómo puedo demostrar que la función inversa es continua?
Pista: Todo lo que necesitas mostrar es que es abierto o cerrado para tener que es un homeomorfismo.
Tenga en cuenta que la imagen continua de un conjunto compacto es compacta; y que los conjuntos cerrados en un espacio compacto son compactos.
Dejar ser un cerrado. Dado que el subconjunto cerrado de un espacio compacto es compacto, también es compacto. Ahora la imagen continua de un conjunto compacto es compacta, por lo que es compacto Finalmente usando el teorema - Todo conjunto compacto de un espacio de Hausdorff es cerrado obtendremos un conjunto cerrado. Por lo tanto, el mapeo está cerrado y la prueba está hecha.
Espero que esto ayude.
julian kuelshammer