Un Mapa es continuo en la imagen inversa del conjunto (−∞,r](−∞,r](-\infty,r]. ¿Esta imagen inversa es un conjunto cerrado?

Dejar$U=\Bbb R$y$r=0$y definir$f$como sigue:

$$f:\Bbb R\to\Bbb R:x\mapsto\begin{cases} \tan x,&\text{if }-\frac{\pi}2<x<\frac{\pi}2\\ 1,&\text{otherwise.} \end{cases}$$

Entonces$E=\left(-\frac{\pi}2,0\right]$,$f$es continua en$E$(y de hecho en todas partes excepto$\pm\frac{\pi}2$), y$E$no está cerrado en$\Bbb R$.

NO. P.ej$U=\Bbb R$y$E=(0,\infty).$Dejar$r=1.$Dejar$g(x)=0$para$x\in E.$Dejar$g(x)=2$para$x\le 0.$

si tu tambien quieres$g$ser discontinuo en cada punto de$U$\$E$luego modifique el ejemplo anterior para$g(x)=2$cuando$0\ge x\in \Bbb Q$y$g(x)=3$cuando$0>x\not\in \Bbb Q.$

Dado un espacio no vacío$E$siempre podemos encontrar un espacio$U$tal que$E$es un subespacio abierto no cerrado de$U.$por ejemplo deja$U=E\cup \{p\}$con$p\not\in E.$Dejar$T_E$ser la topología en$E$y dejar que la topología en$U$ser$\{U\}\cup T_E.$

Si$E$es un subespacio abierto no cerrado de$U,$dejar$r=1.$Dejar$g(x)=0$para$x\in E.$Dejar$g(x)=2$para$x\in U$\$E.$