XXX es conexo si no hay sobreyección continua X→{0,1}X→{0,1}X \rightarrow\{0,1\}

Dejar X Sea un espacio métrico. Demostrar la equivalencia de lo siguiente:

ingrese la descripción de la imagen aquí

¡Por favor confirme si mi intento está bien o contiene errores! ¡Muchas gracias!

Mi intento:

(a) implica (b): Asumir lo contrario que F : X → { 0 , 1 } es una sobreyección continua y A = F − 1 ( 0 ) , B = F − 1 ( 1 ) . Entonces A , B porque { 0 } , { 1 } están abiertos en R y F es continuo Además, A ∩ B = ∅ , A ∪ B = X . Porque F es sobreyectiva, A , B ≠ ∅ . Como tal, X no está conectado, lo cual es una contradicción.

(b) implica (a): Asumir lo contrario que X no está conectado. Entonces hay dos subconjuntos disjuntos abiertos no vacíos A , B tal que A ∩ B = ∅ , A ∪ B = X . Definimos F : X → { 0 , 1 } por F ( X ) = 0 si X ∈ A y 1 en caso contrario. Es fácil comprobar que F es una sobreyección continua, lo cual es una contradicción.

{ 0 } , { 1 } no están abiertos en R , pero en la topología inducida sobre { 0 , 1 } .
¡Muchas gracias por corregir mi malentendido @MichaelBurr!

Respuestas (1)

"Entonces A , B " no es una oración. Quieres decir "Entonces A , B ambos están abiertos". Entonces el argumento es correcto, pero no digas que { 0 } y { 1 } no están abiertos en R pero digamos que se abren en la topología del subespacio inducido .

Porque lo contrario realmente muestra, en lugar de "afirmar", que F es continuo Hay un lema de pegado útil que podría ayudar. Con ese pequeño espacio lleno, es correcto.

Sí, eso es lo que quise decir ^^
¿Es esto correcto en mi siguiente enfoque? Solo hay 4 subconjuntos abiertos de { 0 , 1 } Que es { 0 } , { 1 } , { 0 , 1 } , ∅ . Tenemos F − 1 ( 0 ) = A , F − 1 ( 1 ) = B , F − 1 ( { 0 , 1 } ) = X , F − 1 ( ∅ ) = ∅ . Como tal, la imagen previa de todos los conjuntos abiertos está abierta.
@Akira Sí, eso sería correcto y de las definiciones. "que es" debería convertirse en "cuáles son", por supuesto, y "todos los conjuntos abiertos" en lugar de "todos los conjuntos abiertos".
¡Muchas gracias por su ayuda!
@Akira De nada. Y "están abiertos" debería ser "están abiertos". "Cada x" tiene terminaciones de tercera persona del singular.
Que pasión eres en ayudar ;))))
XXX es conexo si no hay sobreyección continua X→{0,1}X→{0,1}X \rightarrow\{0,1\}
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