Cómo demostrar que la composición de dos caminos es continua

Dejar ( X , τ ) sea un espacio topológico. Dejar X , y , z ∈ X .

Dejar α ∈ PAG ( X , τ ) ( X , y ) y β ∈ PAG ( X , τ ) ( y , z ) . ¿Cómo demuestro que la combinación α ∗ β de α y β , definido como:

α ∗ β ( s ) = { α ( 2 s ) s ∈ [ 0 , 1 2 ] β ( 2 s − 1 ) s ∈ [ 1 2 , 1 ]

es continuo? Conozco el lema del pegamento, pero para aplicarlo tengo que demostrar que α ∗ β | [ 0 , 1 2 ] y α ∗ β | [ 1 2 , 1 ] son continuos. a pesar de que sé α y β son continuos y parece "obvio" que esto haría α ∗ β | [ 0 , 1 2 ] y α ∗ β | [ 1 2 , 1 ] también continuo, pero ¿cuál es el argumento exacto para mostrar esto?

El argumento es que la composición de funciones continuas es continua. Como dijiste con el lema de pegado, entonces necesitas que los extremos de ambos caminos tomen el mismo valor. O para ser más específicos, α ( s ) y β ( 2 s − 1 ) son funciones continuas, y el "punto de unión" para s = 1 / 2 , es el mismo valor, como α ( 1 ) = β ( 0 ) .
Pero como demuestro eso α ( 2 s ) y β ( 2 s − 1 ) son continuos?
como caminos α y β son continuos. Y así son las funciones. 2 s y 2 s − 1 . Así que tienes composición de funciones continuas.
s ↦ α ( 2 s ) es una composición de dos funciones s ↦ 2 s y s ↦ α ( s ) . Ambos son continuos.
Entiendo ahora. Gracias.

Respuestas (1)

Para cerrar la pregunta: define h 1 : [ 0 , 1 2 ] → [ 0 , 1 ] por h 1 ( s ) = 2 s . Está claro que h 1 es continua (incluso un homeomorfismo).

también definir h 2 : [ 1 2 , 1 ] → [ 0 , 1 ] por h 2 ( s ) = 2 s − 1 . También continua y un homeomorfismo. (ambos se pueden mostrar métricamente al notar que d = ε 2 funciona de manera uniforme, si es necesario; también son biyecciones crecientes, por lo que también es un posible argumento para la topología de orden).

Entonces tenga en cuenta que ( α ∗ β ) ↾ [ 0 , 1 2 ] = α ∘ h 1 que es continua como una composición de dos funciones continuas.

Igual por ( α ∗ β ) ↾ [ 1 2 , 1 ] = β ∘ h 2 .

y como ambos ( α ∗ β ) ↾ [ 0 , 1 2 ] ( 1 2 ) = α ( 1 ) = y y ( α ∗ β ) ↾ [ 1 2 , 1 ] ( 1 2 ) = β ( 0 ) = y , están de acuerdo en la superposición [ 0 , 1 2 ] ∩ [ 1 2 , 1 ] = { 1 2 } por lo que el lema de pegado se aplica ya que ambas partes están cerradas en [ 0 , 1 ] .

Eso debería ser lo suficientemente detallado. Por supuesto, en la práctica tales cosas nunca se escriben con detalles tan aburridos.

¿ Por qué es un detalle aburrido ? Es probable que sea un ejercicio (por lo que este nivel de detalle es necesario) y dado que op no parece saber cómo probarlo, no es aburrido...
@PrudiiArca en un periódico o en la mayoría de los libros de texto, no lo encontrará. En línea, tal vez la primera vez que se usa en un libro de texto.
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