¿Toda función continua tiene un orden de desaparición?

Estoy tratando de entender de qué manera podemos caracterizar el crecimiento de funciones continuas alrededor de un punto. Una forma particular de hacerlo es comparando el crecimiento de una función con una potencia de X como sigue.

Para una función continua F : [ 0 , ∞ ) → R definir su orden de desaparición (en X = 0 ) para ser el número 0 ≤ α ≤ ∞ tal que

límite X → 0 ( F ( X ) X α ) = γ ≠ { 0 ± ∞
es decir, el α por lo que el límite anterior es definido, finito y distinto de cero.

En el caso de una función F ( X ) dónde F ( X ) X norte → 0 ∀ norte ∈ [ 0 , ∞ ) definir el orden de desaparición de F ( X ) , a saber α , ser ∞ .

Por ejemplo con estas definiciones α = ∞ cuando F ( X ) = Exp ⁡ ( − 1 X ) como entonces F ( X ) crecería más lentamente que cualquier poder de X alrededor X = 0 .

Mi pregunta es : ¿Existe siempre el orden de desaparición para cada función continua? F en [ 0 , ∞ ) ? es decir, ¿está bien definida esta cantidad?

Si no es así, ¿hay condiciones adicionales que debo estipular? F para garantizar la existencia?

Mis pensamientos sobre el asunto son los siguientes,

  1. Si tal α existe es necesariamente único, porque si β < α entonces

    F ( X ) X β = F ( X ) X α ⋅ X α − β → 0
    ya que por suposición el límite de F ( X ) X α es finito y distinto de cero. Por eso β no puede ser una orden de desaparición para F . Del mismo modo si β > α entonces
    F ( X ) X β = F ( X ) X α ⋅ 1 X β − α → ± ∞
    de nuevo, β no puede ser una orden de desaparición de F . Por lo tanto si α existe es único.

  2. no podemos tener F ( X ) X norte → ± ∞ ∀ norte ∈ [ 0 , ∞ ) Desde hace norte = 0 esto implicaría F ( 0 ) no finito

  3. Sospecho la existencia de tal α puede tener una prueba topológica, tal vez podamos dividir el dominio de α ∈ [ 0 , ∞ ) en partes S y L , es decir [ 0 , ∞ ) = S ∪ L dónde

S := { α ∈ [ 0 , ∞ ) | F ( X ) X α → ± ∞  como  X → 0 }

L := { α ∈ [ 0 , ∞ ) | F ( X ) X α → 0  como  X → 0 }

Tal vez esto viole la conectividad de [ 0 , ∞ ) ?

No. Deja F ( X ) = X pecado ⁡ ( 1 / X )
@Justauser Deberías convertir este comentario en una respuesta...
Cambio de variables a 1 / X , el estudio del orden de desaparición en 0 se convierte en el estudio de la tasa de crecimiento en ∞ . GH Hardy escribió un libro recopilando el trabajo del siglo XIX sobre este tema. Orders of Infinity, el 'Infinitärcalcül' de Paul Du Bois-Reymond (Cambridge, 1924) Veo que Amazon.com tiene muchas versiones de este a la venta. Probablemente cualquier biblioteca de matemáticas lo tenga también.

Respuestas (2)

Como he comentado, F ( X ) = X pecado ⁡ 1 X con definición extendida F ( 0 ) = 0 es un contraejemplo. Intuitivamente, podemos querer F ( X ) tener 1 como la orden de desaparecer.

Podemos hacer esto definiendo el orden de desaparición como

sorber { α : límite X → 0 + F ( X ) X α = 0 }

Tenga en cuenta que el conjunto incluye α = 0 (si suponemos F ( 0 ) = 0 , es decir F ( X ) de hecho se desvanece en 0 ), por lo tanto no vacío y sorber existe (podría ser ∞ ). Esta definición es claramente la misma que la suya, si existe.

Esta definición es equivalente a la siguiente:

inf { α : Lim sup X → 0 + F ( X ) X α = ∞ }

Si el conjunto está vacío, entonces inf se entiende que es ∞ .

Usando estas definiciones, el gramo ( X ) construido por @Saucy O'Path tiene 0 como su orden de desaparición.

Gracias por su respuesta, su ejemplo demuestra muy claramente por qué la definición de orden de desaparición en la pregunta no es muy sólida. Si entiendo correctamente, la definición que ha dado es robusta en el sentido de que incluso si no podemos encontrar una potencia de X eso F ( X ) desaparece como, todavía podemos asignar F ( X ) una orden de desaparición de 0 o ∞ debido a la sorber en tu definición?
Sí. E incluso si no lo es 0 o ∞ , el límite F ( X ) / X α puede no existir como en su def. Pero no es muy útil. En general, al igual que podemos tener series que convergen arbitrariamente rápido/lento, también podemos tener F ( X ) → 0 arbitrariamente rápido/lento que no es necesariamente comparable con ninguna función de potencia. (Si tenemos una buena definición útil de orden de desaparición como la suya, entonces no necesitaríamos tantas pruebas para la convergencia de series o la regla de L'Hôpital: simplemente comparamos su orden de desaparición y calculamos γ .)
¡Gracias por el perspicaz comentario! Para aclarar, en lo anterior sorber definición de desaparecer dices α = 0 está en el conjunto que hace el límite F ( X ) / X α igual a 0 . En el caso α = 0 ¿el límite no se convierte simplemente en el límite de F ( X ) que no es genéricamente 0 ?
Tienes razón. estaba pensando solo en F ( X ) tal que F ( 0 ) = 0 , porque de lo contrario, no se desvanece en 0 , por lo que "orden de desaparición" es un poco engañoso, pero, por supuesto, podemos incluir F ( X ) con F ( 0 ) ≠ 0 .

gramo ( X ) = { 1 registro ⁡ | X | si  X ≠ 0 0 si  X = 0 satisface

límite X → 0 | | X | − α gramo ( X ) | = { ∞ si  α > 0 0 si  α = 0

También un comentario anterior de @Justauser proporcionó otro ejemplo:
h ( X ) = { X pecado ⁡ 1 X , X ≠ 0 0 , X = 0
En ese caso
límite X → 0 | h ( X ) | | X | α = { 0 , 0 ≤ α < 1 norte . d . , α = 1 ∞ , α > 1
¿Toda función continua tiene un orden de desaparición?
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