¿La expectativa condicional siempre tendrá esta "propiedad"? (comprensión/explicación de la expectativa condicional)

Digamos que tienes un espacio de probabilidad$(\Omega, \mathcal{A},P)$, y una variable aleatoria$X: \Omega \rightarrow \mathbb{R}$en este espacio. Supongamos que tenemos un álgebra sub-sigma$\mathcal{G}\subset \mathcal{A}$. Entonces podemos mostrar que$\mu_X(G)=\int_GXdP$, es una medida de$(\Omega, \mathcal{G})$, también es fácil ver que esta medida es absolutamente continua con respecto a P. El teorema de Radon-Nikodym nos dice que tenemos una única$P$-ae$\mathcal{G}$-función medible$\mathcal{E}(X|\mathcal{G})$en$\Omega$, calle$\mu_X(G)=\int_G\mathcal{E}(X|\mathcal{G})dP, G \in \mathcal{G}$.

Mi problema es que me cuesta describir$\mathcal{E}(X|\mathcal{G})$en general. Si hago un ejemplo específico como este:

$\Omega=\{1,2,3,4\}$

$\mathcal{A}=\{\emptyset,\{1\},\{2,3\},\{4\},\{1,4\},\{1,2,3\},\{2,3,4\},\Omega\}$ $P(\{1\})=0.5,P(\{2,3\})=0.25, P(\{4\})=0.25$

$X(1)=1, X(2)=3,X(3)=3,X(4)=4$

$\mathcal{G}=\{\emptyset, \{1,4\},\{2,3\},\Omega\}$

Entonces un cálculo, y usando la unicidad de la derivada del radón nikodym, nos da que:

$\mathcal{E}(X|\mathcal{G})(\omega)=2\mathcal{X}_{\{1,4\}}(\omega)+3\mathcal{X}_{\{2,3\}}(\omega)$.

Ahora viene mi pregunta: de los cursos elementales de probabilidad y estadística, podemos demostrar que$E(X|\{1,4\})=2$y$E(X|\{2,3\})=3$.

Entonces, en este caso, vemos que la expectativa condicional se puede describir de esta manera: si solo puede diferenciar entre los conjuntos en$\mathcal{G}$entonces el valor de la expectativa condicional para un omega dado, es el valor de la expectativa condicional del conjunto en$\mathcal{G}$que contiene$\Omega$que es "el más pequeño", o donde hemos eliminado la mayoría de las posibilidades de que no sucedió, y que el álgebra sigma$\mathcal{G}$nos permite eliminar.

Pero este era un ejemplo fácil. ¿Y, en general, es posible que no tenga conjuntos más pequeños como este? Pero, ¿existe una buena o intuitiva explicación del valor de la expectativa condicional cuando trabajamos con conjuntos más grandes como contables o incontables? ¿Existe una forma equivalente de decir en estos casos para asociar el valor de la expectativa condicional con la expectativa condicional de un conjunto como se da en las estadísticas elementales? ¿O hay algún teorema o explicación que generalice lo que hice anteriormente para conjuntos "pequeños"? ¿Y da una buena justificación intuitiva para la expectativa condicional aquí?

Si tiene otras "explicaciones" intuitivas de la expectativa condicional, también me gustaría escucharlas.