Encontrar el PDF condicional de la expectativa condicional

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Encontrar el PDF condicional de la expectativa condicional

Matemáticas
teoría de la medida
teoría de probabilidad
expectativa condicional

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Resumiré rápidamente la definición general de expectativa condicional. Dejar $(\Omega, \mathcal{A}, P)$ un espacio de medida, $X: \Omega \to \mathbb{R}$ una variable aleatoria y $\mathcal{G}$ un álgebra sigma tal que $\mathcal{G} \subset \mathcal{A}$ . Por el teorema de Radon-Nikodyn, garantizamos la existencia de la esperanza condicional $E(X|\mathcal{G})$ definida como la única variable aleatoria que satisface las siguientes propiedades:

$E(X|\mathcal{G})$ es $\mathcal{G}$ -mensurable;
$\int_G E(X|\mathcal{G})dP = \int_G X dP$ , $\quad\forall G\in \mathcal{G}$ .

Si $G = \Omega$ , Concluimos $E[X] = E[ E(X|\mathcal{G})]$ . Pero me gustaría discutir con un poco de detalle estas expectativas, especialmente cuando usamos sus respectivas densidades (pdf) para expresar la expectativa. Lo sabemos

mi [X] = \int X F_{X} (X) d X

$E[X] = \int x f_X(x) dx$ .

Supongamos $X$ y $Y$ dos variables aleatorias. Considere $\sigma(X)$ y $\sigma(Y)$ el respectivo $\sigma$ -álgebra generada por $X$ y $Y$ . La notación es bien conocida: $E(X | Y) = E(X | \sigma(Y))$ . Por definición, sabemos que $E(X | Y)$ es $\sigma(Y)$ -mensurable. Tengo dos preguntas:

(1) ¿Cómo puedo argumentar que $E(X | Y)$ es una variable aleatoria obtenida como una cierta función de la $Y$ ¿variable aleatoria?

(2) ¿Cómo demuestro que para calcular $E(X | Y = y)$ , tengo que usar el pdf condicional $f_{X|Y}(x|Y = y)$ ? En otras palabras. $E(X | Y = y) = \int x f_{X|Y}(x|Y = y)dx$ ?

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Bienvenido a Math.SE. Me gustaría informarle que la teoría de la probabilidad trata sobre los fundamentos teóricos de la medida de la estocástica, y la etiqueta ( probabilidad-teoría ) puede usarse para preguntas relacionadas con este tema. Para preguntas sobre el cálculo de una probabilidad específica, puede usar ( probabilidad ) en su lugar, consulte también meta .

Respuestas (1)

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Bienvenido a Math.SE. Me gustaría informarle que la teoría de la probabilidad trata sobre los fundamentos teóricos de la medida de la estocástica, y la etiqueta ( probabilidad-teoría ) puede usarse para preguntas relacionadas con este tema. Para preguntas sobre el cálculo de una probabilidad específica, puede usar ( probabilidad ) en su lugar, consulte también meta .

Selene · Answer 1

(1)

Λ (t) := \int_{{ω : Y (ω) \leq t}} X d PAG = \int_{{ω : Y (ω) \leq t}} mi (X | Y) d PAG

$\Lambda(t):=\int_{\{\omega:Y(\omega)\leq t\}}XdP=\int_{\{\omega:Y(\omega)\leq t\}}E(X|Y)dP$

es absolutamente continua con respecto a $P\circ Y^{-1}$ en $(\mathbb{R},\mathscr{B}(\mathbb{R}))$ , entonces tomamos la derivada como $\lambda(t)$ .

Considerar $\lambda\circ Y$ . $\forall G\in\mathcal{G}$ ,

\int_{GRAMO} λ \circ Y d PAG = \int_{Y (GRAMO)} λ d (PAG \circ Y^{- 1}) = \int_{Y (GRAMO)} d Λ = \int_{GRAMO} mi (X | Y) d PAG .

$\int_{G}\lambda\circ YdP=\int_{Y(G)}\lambda d(P\circ Y^{-1})=\int_{Y(G)}d\Lambda=\int_GE(X|Y)dP.$ Desde

E (X | Y)

$E(X|Y)$ y

λ \circ Y

$\lambda\circ Y$ son ambos

G

$\mathcal{G}$ -mensurable,

λ \circ Y \overset{a . s .}{=} E (X | Y) .

$\lambda\circ Y\overset{a.s.}{=}E(X|Y).$

(2)

{mi}_{Y} (mi (X | Y)) = \int_{- \infty}^{+ \infty} λ (y) [PAG \circ Y^{- 1}] (d y) = \int_{Ω} λ \circ Y d PAG = \int_{Ω} mi (X | Y) d PAG = \int_{Ω} X d PAG .

$E_Y(E(X|Y))=\int_{-\infty}^{+\infty}\lambda(y) [P\circ Y^{-1}](dy)=\int_\Omega \lambda\circ YdP=\int_\Omega E(X|Y)dP=\int_\Omega XdP.$ Si tú ves

E (X | Y)

$E(X|Y)$ como una función de

Y

$Y$ , y

Y

$Y$ tiene una función de densidad, entonces

\int_{- \infty}^{+ \infty} mi (X | Y = y) F_{Y} (y) d y = \int_{- \infty}^{+ \infty} λ (y) F_{Y} (y) d y = \int_{- \infty}^{+ \infty} λ (y) [PAG \circ Y^{- 1}] (d y) = mi (X) .

$\int_{-\infty}^{+\infty}E(X|Y=y)f_Y(y)dy=\int_{-\infty}^{+\infty}\lambda(y)f_Y(y)dy=\int_{-\infty}^{+\infty}\lambda(y) [P\circ Y^{-1}](dy)=E(X).$

Tengo muchas dudas y me gustaría organizarlas. En primer lugar, me gustaría decir que no soy un experto en el tema. Bueno, supongo que $P\circ Y^{-1}$ es la medida de avance generada por $Y$ en $(\mathbb{R}, \mathcal{B})$ , eso es $P\circ Y^{-1} = P_Y$ . No puedo encontrar ningún argumento para demostrar que $\Lambda \ll P_Y$ . Empezaría por suponer que $P_Y(B) = 0$ y luego trato de mostrar que $\Lambda(B) = 0$ . Pero esto no tiene sentido. ¿Tendrías un argumento más detallado?
Trato de usar el siguiente hecho: Considere espacios medibles $(\Omega_1,\mathcal{A}_1)$ y $(\Omega_2,\mathcal{A}_2)$ y una medida $\mu$ en $(\Omega_1, \mathcal{A_1})$ . Cualquier función medible $X:\Omega_1\to \Omega_2$ induce una medida $\mu_X$ en $\Omega_2$ a través de $\mu_X(A_2)=\mu( X^{-1}(A_2))$ para $A_2 \in \mathcal{A}_2$ , la medida de avance. Si $g:\Omega_2 \to \mathbb{R}$ es una función integrable, entonces $\int_{A_2} g ~\mathrm{d}(\mu_X) = \int_{X^{-1}(A_2)} g \circ X ~\mathrm{d}\mu$ . En tu caso, estás trabajando con $g = id$ pero con dos variables aleatorias $X$ y $Y$ .
Finalmente, en la respuesta (2) me gustaría mostrar que el pdf del $E(X | Y)$ es la distribución condicional $f_{X|Y}(x|Y)$ .
@Fam La continuidad absoluta es seguida por el hecho de que la integración de X sobre cualquier conjunto con 0 medida ( $P_Y(B)=0\Rightarrow P(Y^{-1}(B))=0$ ) es cero. $\Lambda(B)=\int_{\{\omega:Y(\omega)\in B\}}XdP$ .
@Fam Y para su segunda pregunta, no veo por qué el pdf de $E(X|Y)$ es $f_{X|Y}(x|Y)$ . O como se define $f_{X|Y}(x|Y)$ ?
Ok, perfecto. Ahora entendí, pero aún hablando de continuidad absoluta, en tu última igualdad usas $\Lambda(t)=\int_{\{\omega:Y(\omega)\leq t\}}E(X|Y)dP$ para concluir que $\frac{d\Lambda}{dP}= E(X|Y)$ . ¿Es esta una versión del teorema fundamental del cálculo para el teorema de la medida? ¿Tienes algún enlace a la demostración de este hecho?
@Fam No, no usé eso. Tienes que ser más cuidadoso con las anotaciones. $\frac{d\Lambda}{d(P\circ Y^{-1})}=\frac{d\Lambda}{dP_Y}=\lambda$ , y $\lambda\circ Y=E(X|Y)$ . Solo el teorema RN aquí.
Así que me gustaría entender esta identidad. $\int_{Y(G)}d\Lambda=\int_GE(X|Y)dP$ . Pensé que usaste esto: $\frac{d\Lambda}{dP}= E(X|Y)$
@familia $\int_{Y(G)}d\Lambda=\Lambda(Y(G))=\int_{Y^{-1}(Y(G))}E(X|Y)dP$ .
Disculpe, cometí un error en la notación. Acabo de editar la pregunta 2. Vea si está más claro ahora. Gracias

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