Una caracterización de convergencia casi segura

Question

Una caracterización de convergencia casi segura

Matemáticas
probabilidad
teoría de la medida
teoría de probabilidad
secuencias y series
convergencia divergencia

Fanático de las matemáticas

Supongamos que tenemos una secuencia de variables aleatorias positivas $X_1,X_2,...,X$ . Estoy tratando de probar una caracterización de convergencia casi segura.

Se afirma que $X_n \rightarrow X$ casi seguramente si por cada $\epsilon >0$ , $\lim_{n \rightarrow \infty} P[\sup_{k \ge n} \frac{X_k}{X} > 1+ \epsilon]=0$ y $\lim_{n \rightarrow \infty} P[\sup_{k \ge n} \frac{X}{X_k} > 1+ \epsilon]=0$ .

Si asumo una convergencia casi segura, entonces la implicación es fácil, pero no puedo probar lo contrario.

Respuestas (2)

Una caracterización de convergencia casi segura

usuario140541 · Answer 1

Como todas las variables aleatorias son positivas,

\begin{aligned} {ω : X_{norte} (ω) ↛ X (ω)} = {ω : X_{norte} (ω) / X (ω) ↛ 1} \\ = {Lim sup X_{norte} / X > 1} \cup {límite de información X_{norte} / X < 1} . \end{aligned}

$\begin{align} &\{\omega:X_n(\omega)\not\to X(\omega)\}=\{\omega:X_n(\omega)/X(\omega)\not\to 1\} \\ &\qquad=\{\limsup X_n/X > 1\} \cup \{\liminf X_n/X < 1\}. \end{align}$ De este modo,

PAG (X_{norte} ↛ X) \leq PAG (Lim sup X_{norte} / X > 1) + PAG (límite de información X_{norte} / X < 1) .

$\mathsf{P}(X_n\not\to X)\le\mathsf{P}(\limsup X_n/X>1)+\mathsf{P}(\liminf X_n/X<1).$ Pero

\begin{aligned} PAG (Lim sup X_{norte} / X > 1) & = \underset{metro \to \infty}{límite} PAG (Lim sup X_{norte} / X \geq 1 + {metro}^{- 1}) \\ = \underset{metro \to \infty}{límite} \underset{norte \to \infty}{límite} PAG (\underset{k \geq norte}{sorber} X_{k} / X \geq 1 + {metro}^{- 1}) . \end{aligned}

$\begin{align} \mathsf{P}(\limsup X_n/X>1)&=\lim_{m\to\infty}\mathsf{P}(\limsup X_n/X\ge 1+ m^{-1}) \\ &=\lim_{m\to\infty}\lim_{n\to\infty}\mathsf{P}\!\left(\sup_{k\ge n} X_k/X\ge 1+ m^{-1}\right). \end{align}$ Eso es,

P (lim sup X_{n} / X > 1) = 0

$\mathsf{P}(\limsup X_n/X>1)=0$ es equivalente a

\underset{norte \to \infty}{límite} PAG (\underset{k \geq norte}{sorber} X_{k} / X \geq 1 + ϵ) = 0 \forall ϵ > 0,

$\lim_{n\to\infty}\mathsf{P}\!\left(\sup_{k\ge n} X_k/X\ge 1+\epsilon\right)=0 \quad\forall \epsilon>0,$ y, del mismo modo,

P (lim inf X_{n} / X < 1) = 0

$\mathsf{P}(\liminf X_n/X<1)=0$ es equivalente a

\underset{norte \to \infty}{límite} PAG (inf_{k \geq norte} X_{k} / X \leq 1 - ϵ) = 0 \forall ϵ > 0.

$\lim_{n\to\infty}\mathsf{P}\!\left(\inf_{k\ge n} X_k/X\le 1-\epsilon\right)=0 \quad\forall \epsilon>0.$

La última condición es equivalente a $\lim_{n\to\infty}\mathsf{P}\!\left(\sup_{k\ge n} X/X_k\ge 1+\epsilon\right)=0 \quad\forall \epsilon>0$ .

ChrisNick92 · Answer 2

Dejar

A_{norte}^{ϵ} = {\underset{k \geq norte}{sorber} \frac{X_{k}}{X} > 1 + ϵ} y B_{norte}^{ϵ} = {\underset{k \geq norte}{sorber} \frac{X}{X_{k}} > 1 + ϵ} .

$A_n^{\epsilon} = \bigl\{\sup_{k\geq n}\frac{X_k}{X}>1+\epsilon\bigr\} \,\text{ and }\, B_n^{\epsilon} = \bigl\{\sup_{k\geq n}\frac{X}{X_k}>1+\epsilon\bigr\}.$ Entonces

A_{n + 1}^{ϵ} \subseteq A_{n}^{ϵ}

$A_{n+1}^\epsilon\subseteq A_n^\epsilon$ y

B_{n + 1}^{ϵ} \subseteq B_{n}^{ϵ}

$B_{n+1}^\epsilon\subseteq B_{n}^\epsilon$ , de este modo

\underset{norte \to \infty}{límite} PAG (A_{norte}^{ϵ}) = PAG (⋂_{norte = 1}^{\infty} A_{norte}^{ϵ}) = PAG (\underset{norte \to \infty}{Lim sup} \frac{X_{norte}}{X} > 1 + ϵ)

$\lim_{n\to \infty}P(A_n^\epsilon)=P\biggl(\bigcap_{n=1}^{\infty}A_n^\epsilon\biggr)=P\biggl(\limsup_{n\to\infty}\frac{X_n}{X}>1+\epsilon\biggr)$ y

\underset{norte \to \infty}{límite} PAG (B_{norte}^{ϵ}) = PAG (⋂_{norte = 1}^{\infty} B_{norte}^{ϵ}) = PAG (\underset{norte \to \infty}{Lim sup} \frac{X}{X_{norte}} > 1 + ϵ) .

$\lim_{n\to \infty}P(B_n^\epsilon)=P\biggl(\bigcap_{n=1}^{\infty}B_n^\epsilon\biggr)=P\biggl(\limsup_{n\to\infty}\frac{X}{X_n}>1+\epsilon\biggr).$ Dado que lo anterior es válido para cada

ϵ > 0

$\epsilon>0$ concluimos que

PAG (\underset{norte \to \infty}{Lim sup} \frac{X_{norte}}{X} > 1) = 0 y PAG (\underset{norte \to \infty}{Lim sup} \frac{X}{X_{norte}} > 1) = 0.

$P\biggl(\limsup_{n\to \infty}\frac{X_n}{X}>1\biggr) = 0 \, \text{ and }\, P\biggl(\limsup_{n\to \infty}\frac{X}{X_n}>1\biggr) = 0.$ Estos dos son equivalentes a los dos siguientes

PAG (\underset{norte \to \infty}{Lim sup} \frac{X_{norte}}{X} \leq 1) = 1 y PAG (\underset{norte \to \infty}{Lim sup} \frac{X}{X_{norte}} \leq 1) = 1.

$P\biggl(\limsup_{n\to \infty}\frac{X_n}{X}\leq 1\biggr)=1\, \text{ and }\, P\biggl(\limsup_{n\to \infty}\frac{X}{X_n}\leq 1\biggr)=1.$ Ahora observa que

\underset{n \to \infty}{lim sup} \frac{X_{n}}{X} = \frac{1}{X} \cdot \underset{n \to \infty}{lim sup} X_{n}

$\limsup\limits_{n\to \infty}\frac{X_n}{X}=\frac{1}{X}\cdot\limsup\limits_{n\to \infty}X_n$ y

\underset{n \to \infty}{lim sup} \frac{X}{X_{n}} = X \cdot \underset{n \to \infty}{lim sup} \frac{1}{X_{n}} = X \cdot \frac{1}{\underset{n \to \infty}{lim inf} X_{n}} .

$\limsup\limits_{n\to \infty}\frac{X}{X_n}=X\cdot \limsup\limits_{n\to \infty}\frac{1}{X_n}=X\cdot \frac{1}{\liminf\limits_{n\to \infty}X_n}.$ Por lo tanto,

PAG (\underset{norte \to \infty}{Lim sup} X_{norte} \leq X) = 1 y PAG (\underset{norte \to \infty}{límite de información} X_{norte} \geq X) = 1,

$P\biggl(\limsup_{n\to \infty}X_n\leq X\biggr)=1\, \text{ and }\, P\biggl(\liminf_{n\to \infty}X_n\geq X\biggr)=1,$ tomando intersecciones concluimos que

X_{n} \overset{a.s}{⟶} X

$X_n\overset{\text{a.s}}{\longrightarrow}X$ .

Una caracterización de convergencia casi segura

Fanático de las matemáticas

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usuario140541

ChrisNick92

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