Una desigualdad de probabilidad: probabilidad de que la suma normalizada de iid variables aleatorias esté acotada por debajo, esté acotada por debajo

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Una desigualdad de probabilidad: probabilidad de que la suma normalizada de iid variables aleatorias esté acotada por debajo, esté acotada por debajo

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phil

Me han dicho que el siguiente hecho es cierto. Dejar $X_1,X_2,X_3,\dots$ ser iid variables aleatorias. Entonces existe $\epsilon$ tal que para todos $n$ ,

PAG (\frac{| X_{1} + \dots + X_{norte} |}{\sqrt{norte}} \geq ϵ) \geq d .

$\mathbb{P}\left(\frac{|X_1+\dots+X_n|}{\sqrt{n}}\geq \epsilon\right)\geq \delta.$

Observa eso $\epsilon$ no depende de $n$ . Ambos $\epsilon$ y $\delta$ son $>0$ .

Sin embargo, estoy luchando para probar esto o encontrar alguna referencia. El truco es que el $X_i$ No es necesario que tenga una media finita o una varianza. De hecho, estoy interesado en aplicar este "hecho" a una situación en la que el $X_i$ debe tener una varianza infinita (pero posiblemente una media cero), por lo que las cosas elementales como la desigualdad de Markov o Chebyshev no ayudarán. No estoy seguro de cómo proceder. ¡Cualquier pista sería muy apreciada!

Actualización sobre el progreso: Para el $X_i$ que me interesa, he deducido la condición

X_{1} + X_{2} + \dots + X_{2^{k}} \sim 2^{k / 4} X_{i} .

$X_1+X_2+\dots+X_{2^k} \sim2^{k/4}X_i.$ También he probado la desigualdad.

PAG (| S_{norte} | > t) \geq \frac{1}{2} PAG (\underset{j}{máximo} | X_{j} | > t) \geq \frac{1}{2} (1 - {mi}^{- norte (1 - F (t) + F (- t))}),

$\mathbb{P}(|S_n|>t) \geq \frac{1}{2}\mathbb{P}(\max_j|X_j|>t)\geq\frac{1}{2}(1-e^{-n(1-F(t)+F(-t))}),$ dónde

F

$F$ es la CDF de

X_{i}

$X_i$ . Por

S_{n}

$S_n$ , me refiero a la

S_{n} = X_{1} + \dots + X_{n}

$S_n=X_1+\dots+X_n$ . Por lo tanto, parece que el problema se reduce a analizar la distribución de

X_{i}

$X_i$ .

VHarisop

Esto obviamente falla si

P (X_{i} = 0) = 1

$\mathbb{P}(X_i = 0) = 1$ . ¿Tiene alguna otra suposición sobre

X_{i}

$X_i$ ? Está tratando de probar una instancia de algo que se parece a las "probabilidades de bola pequeña", si eso lo ayuda a buscar referencias relevantes.

phil

tenemos eso

X_{i}

$X_i$ no es trivial, debería haber agregado eso.

Respuestas (2)

Una desigualdad de probabilidad: probabilidad de que la suma normalizada de iid variables aleatorias esté acotada por debajo, esté acotada por debajo

Esto obviamente falla si $\mathbb{P}(X_i = 0) = 1$ . ¿Tiene alguna otra suposición sobre $X_i$ ? Está tratando de probar una instancia de algo que se parece a las "probabilidades de bola pequeña", si eso lo ayuda a buscar referencias relevantes.
tenemos eso $X_i$ no es trivial, debería haber agregado eso.

Sang Chul Lee · Answer 1

Permítanme dar una prueba directa usando funciones características. El ajuste es el siguiente:

$(X_n)$ y $(X'_n)$ son iid
$\tilde{X}_n = X_n - X'_n$ son variables simetrizadas.
$S_n = X_1 + \cdots + X_n$ y $\tilde{S}_n = \tilde{X}_1 + \cdots + \tilde{X}_n$ .

Bajo este escenario, queremos probar que

Afirmar. Si la ley de $X_1$ no es degenerado, entonces existe $\epsilon > 0$ tal que
$inf_{norte \geq 1} PAG (| S_{norte} | \geq ϵ \sqrt{norte}) > 0.$ $\inf_{n\geq 1} \mathbb{P}\left( |S_n| \geq \epsilon\sqrt{n} \right) > 0.$

Probamos la contraposición. Para ello, suponga que $\inf_n \mathbb{P}\left(|S_n|\geq \epsilon \sqrt{n}\right) = 0$ para cualquier $\epsilon > 0$ . entonces existe $(n_k)$ tal que $S_{n_k}/\sqrt{n_k} \to 0$ en probabilidad. Esto implica que $\tilde{S}_{n_k}/\sqrt{n_k} \to 0$ en probabilidad también. Así que si $\varphi(t) = \mathbb{E}[\cos(t\tilde{X}_1)]$ denota la función característica de $\tilde{X}_1$ , entonces

φ {(\frac{t}{\sqrt{{norte}_{k}}})}^{{norte}_{k}} = mi [Exp {i t {\tilde{S}}_{{norte}_{k}} / \sqrt{{norte}_{k}}}] \to_{k \to \infty}^{} 1

$\varphi\left( \frac{t}{\sqrt{n_k}} \right)^{n_k} = \mathbb{E}[\exp\{\mathrm{i}t \tilde{S}_{n_k}/\sqrt{n_k}\}] \xrightarrow[k\to\infty]{} 1$

por el teorema de Portmanteau. Tomando $\log|\cdot|$ , tenemos $n_k \log\left| \varphi\left( \frac{t}{\sqrt{n_k}} \right) \right| \to 0$ . Pero desde

$\varphi\left( \frac{t}{\sqrt{n_k}} \right) = 1 - 2 \mathbb{E}\left[ \sin^2\left( \frac{t\tilde{X}_1}{2\sqrt{n_k}}\right) \right]$ por la identidad de doble ángulo;
$\mathbb{E}\left[ \sin^2\left( \frac{t\tilde{X}_1}{2\sqrt{n_k}}\right) \right] \to 0$ por el teorema de la convergencia dominada;

resulta que

{norte}_{k} mi [{pecado}^{2} (\frac{t {\tilde{X}}_{1}}{2 \sqrt{{norte}_{k}}})] \to_{k \to \infty}^{} 0.

$n_k \mathbb{E}\left[ \sin^2\left( \frac{t\tilde{X}_1}{2\sqrt{n_k}}\right) \right] \xrightarrow[k\to\infty]{} 0.$

taponamiento $t = 2$ y aplicando el teorema de la convergencia monótona y el lema comprimiendo,

mi [{\tilde{X}}_{1}^{2}] = \underset{k \to \infty}{límite} mi [{norte}_{k} {pecado}^{2} (\frac{{\tilde{X}}_{1}}{\sqrt{{norte}_{k}}}) 1_{{| {\tilde{X}}_{1} | \leq \frac{π}{2} \sqrt{{norte}_{k}}}}] = 0,

$\mathbb{E}[\tilde{X}_1^2] = \lim_{k\to\infty} \mathbb{E}\left[ n_k \sin^2\left( \frac{\tilde{X}_1}{\sqrt{n_k}}\right) \mathbf{1}_{\{ |\tilde{X}_1| \leq \frac{\pi}{2}\sqrt{n_k} \}} \right] = 0,$

y por lo tanto $X_1$ es degenerado.

¡Lindo! Estaba buscando un enfoque de función característica directa, pero me quedé atascado porque no podemos usar la expansión de Taylor (no se dan momentos). Tendré que recordar este truco de doble ángulo.

zoidberg · Answer 2

Creo que lo que queremos mostrar es que $S_n/\sqrt{n}$ no converge en probabilidad a 0.

Si $X_i$ tienen media finita y varianza > 0, el resultado se sigue de la CLT. Por lo tanto, solo tenemos que considerar el caso de varianza infinita. En cierto sentido, esto debería ser aún más fácil de probar ya que es más probable que la suma $S_n=X_1+...+X_n$ es largo. De hecho, si $S_n/\sqrt{n}$ converge en probabilidad a 0, entonces $X_i$ debe tener una varianza finita. Este fue un ejercicio en el libro de probabilidad de Durrett. La idea es simetrizar considerando las variables aleatorias $Y_i = X_i - X'_i$ . Asumir que $X_i$ tienen varianza infinita. Entonces podemos considerar versiones truncadas de $Y_i$ con una varianza finita arbitrariamente grande. Esto nos permite obtener un límite como $\mathbb{P}(\sum Y_i \ge K \sqrt{n}) \ge 1/5$ por arbitrario $K$ . (Esencialmente, si esa probabilidad es demasiado pequeña, no tiene posibilidad de obtener la varianza grande requerida). Pero se suponía que la probabilidad iba a 0 para $K > 0$ . De este modo, $X_i$ se puede suponer que tiene una varianza finita y se aplica la CLT.

Una desigualdad de probabilidad: probabilidad de que la suma normalizada de iid variables aleatorias esté acotada por debajo, esté acotada por debajo

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