Definición alternativa de submartingala, problema con el teorema de Radon-Nikodym.

Suponga que tiene una base estocástica ( Ω , F , PAG , F ) . Una submartingala generalmente se define como

un proceso adaptado

para cada t mi ( | X t | ) < ∞

y mi ( X t | F s ) ≥ X s como

Sin embargo, en un libro que estoy leyendo me encontré con otra definición, que es casi la misma, pero no requiere integrabilidad, sino que requiere que mi ( X t + ) < ∞ . (El autor también agrega rutas càdlàg como requisito, no estoy seguro de si eso es relevante para mi pregunta).

Esto crea un problema para mí. Porque no estoy seguro de cómo construir la expectativa condicional mi ( X t | F s ) utilizando el teorema de Radon-Nikodym. El paso más natural es construir mi ( X t + | F s ) y mi ( X t − | F s ) y definiendo mi ( X t | F s ) = mi ( X t + | F s ) − mi ( X t − | F s ) .

Debido a la integrabilidad, no hay problema en usar Radon-Nikodym para definir mi ( X t + | F s ) , el problema es definir mi ( X t − | F s ) . El primer paso es definir una medida sobre ( Ω , F s , q ) tal que q ( A ) = mi ( X t − X A ) , A ∈ F s . Para usar el teorema de Radon-Nikodym necesitamos σ -finitud. Pero no puedo ver que tenemos que en este caso? Podríamos definir mi norte = { X t − < norte } , desde X t − son F t medibles, estos conjuntos están en F t , así que tenemos eso ( Ω , F t , q ) es σ -finito. Pero los conjuntos pueden no ser F s -medible, entonces, ¿cómo obtenemos σ -finitud en el espacio ( Ω , F s , q ) ?

Actualización: tengo el mismo problema en este libro: martingalas continuas y movimiento browniano . Sin embargo, tampoco puedo encontrar cómo construyen la expectativa condicional en este libro. Debe haber una respuesta simple para esto, ya que se usa en muchos libros.

¿En qué libro encontraste esta definición? Me gustaría echar un vistazo porque esto parece un poco inusual.
El autor aborda esto cuando analiza la predicción predecible en el capítulo 3.1 al introducir otro operador que luego se usa para definir la expectativa condicional generalizada y extendida. No estoy 100% seguro de que esto resuelva tu problema, pero al menos es un comienzo.
@Olorun Miré esto, gracias, pero veo que lo introduce en la Definición 3.25, pero en el Teorema 3.24 antes de esto, dice algo sobre la expectativa condicional ordinaria que debería ser suficiente para resolver lo que tengo, y dice que es un consecuencia directa del teorema de Radon-Nikodym. Ahí dice que si η es una rv no negativa, y F es un álgebra sigma, entonces mi ( η | F ) existe, pero ¿se sigue directamente del teorema de Radon-Nikodym? [continuación]
Si definimos la medida m = mi ( η ⋅ I F ) en ( Ω , F ) . necesitamos eso m es σ -finito. Pero si η es un rv en ( Ω , A , PAG ) , dónde F ⊂ A , todavía tenemos eso m es σ -finito en ( Ω , F ) para que podamos usar el teorema de Radon-Nikodym?

Respuestas (1)

Para cualquier variable aleatoria no negativa ξ , si mi ( ξ ) < ∞ , la expectativa condicional mi ( ξ ∣ GRAMO ) está bien definido, donde GRAMO es un sub- σ -álgebra. Por otro lado, si mi ( ξ ) = ∞ , consideramos, por norte ≥ 1 , la variable aleatoria

ξ norte = ξ I ξ < norte .
Tenga en cuenta que, { ξ norte } norte = 1 ∞ no es decreciente y
límite norte → ∞ ξ norte = ξ ,
PAG -como para cada uno norte , definimos la función conjunto q norte en el sub- σ -álgebra GRAMO definido por
q norte ( A ) = ∫ A ξ norte d PAG ,
para A ∈ GRAMO . Entonces q norte es una medida finita, y la derivada Radon-Nikodym d q norte / d PAG existe Es decir, la expectativa condicional mi ( ξ norte ∣ GRAMO ) está bien definido. Además, se puede demostrar que, para norte ≥ 1 ,
mi ( ξ norte ∣ GRAMO ) ≤ mi ( ξ norte + 1 ∣ GRAMO ) ,
PAG -como Véase la página 195 de este libro . Entonces definimos
mi ( ξ ∣ GRAMO ) = límite norte → ∞ mi ( ξ norte ∣ GRAMO ) .

Para cualquier variable aleatoria η , la expectativa condicional mi ( η ∣ GRAMO ) se considera definido si

min ( mi ( η + ∣ GRAMO ) , mi ( η − ∣ GRAMO ) ) < ∞ ,
PAG -como

El problema es que realmente no veo cómo tenemos σ -finitud en el álgebra sub-sigma. Si nuestro espacio de probabilidad es ( ( 0 , 1 ) , B ( ( 0 , 1 ) ) , λ | ( 0 , 1 ) ) . Y supongamos que nuestro rv es X ( ω ) = 1 / ω . Sea el álgebra sub-sigma GRAMO ser GRAMO = { ∅ , ( 0 , 1 ) , ( 0 , 0.5 ] , ( 0.5 , 1 ) } , entonces ( ( 0 , 1 ) , GRAMO , q ) no es un espacio de medida -sigma-finita, donde Q se define como has.
Consulte la revisión anterior.
Sigue siendo el mismo problema, los conjuntos A norte son medibles en el sigma-álgebra original del espacio. Pero no sabemos si son medibles en el álgebra sub-sigma y, por lo tanto, la medida puede no ser sigma-finita allí. Porque no estás seguro de si A norte ∈ GRAMO ?
Efectivamente, tu observación es correcta.
Ver revisión adicional arriba.
Entiendo tu construcción, pero el problema es que, como dices, podría no ser finito. Obtenemos por supuesto que mi [ X ( t ) + | F s ] es finito, pero por esta construcción, si sucede que mi [ X ( t ) − ] = ∞ , no estamos garantizados que mi ( X ( t ) − | F s ) es finito como Entonces, en este caso, ¿debemos hacer más suposiciones en la definición de una submartingala?
Incluso si mi ( X t − ∣ F s ) es infinito, pero mi ( X t ∣ F s ) está bien definido, y la comparación con X s se puede hacer, y luego se puede definir la submartingalidad.
Pero esto obliga X s = − ∞ ?
no obliga X s = − ∞ . Si la desigualdad no se cumple, entonces no es una submartingala. Verifica la condición, mientras que no la fuerza.
Gracias, pero sigo teniendo un problema, la mayor parte del tiempo. F 0 es lo banal σ -álgebra, o un trivial aumentado σ -álgebra. Eso significa que si una función es medible con esta sigma-álgebra, debe ser constante como Entonces, si mi ( X t ) = − ∞ para alguna t, entonces en este caso debemos tener mi ( X t | F 0 ) = − ∞ como, y si se suponía que esto era una submartingala entonces X 0 tenía que ser − ∞ como, que no puede suceder. ¿Significa esto que esto no puede suceder para casi todas las submartingalas en la práctica? ¿O estoy equivocado aquí?
Esto no debería pasar por una submartingala.
¿Qué quieres decir con que eso no puede pasar? ¿Significa esto que para cualquier submartingala, con respecto a una filtración donde F 0 consta sólo de conjuntos de prob. 0 y 1, deben ser integrables?
Un proceso que no satisface la definición de submartingala no es una submartingala.
Definición alternativa de submartingala, problema con el teorema de Radon-Nikodym.
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