Papel del teorema de Radon-Nikodym en la definición de probabilidades condicionales

Dejar$(\Omega,\mathscr{F},P)$sea ​​un espacio de probabilidad y$\mathscr{G}\subset\mathscr{F}$a$\sigma$-campo contenido en$\mathscr{F}$. Si definimos la medida finita v en$\mathscr{G}$por

$\text{v}(G)=P(A\cap G)$para todos$G\in\mathscr{G}$,

entonces mi pregunta se refiere al papel del teorema de Radon-Nikodym en la definición de probabilidades condicionales utilizada por Patrick Billingsley (1995) en su libro de texto "Probabilidad y medida", que denota por$P[A\|\mathscr{G}]$, y se define por;

i)$P[A\|\mathscr{G}]$ser medible$\mathscr{G}$,

ii)$\int_G P[A\|\mathscr{G}] \, dP=P(A\cap G):=\operatorname{v}(A\cap G)$para todos$G\in\mathscr{G}$.

Si$P_0$es$P$prohibido para$\mathscr{G}$, entonces desde$\operatorname{v}\ll P_0$para$P_0<\infty$, y por lo tanto$\operatorname{v}<\infty$, creo que puedo ver que el teorema de Radon-Nikodym garantiza la existencia de un valor real, no negativo y$\mathscr{G}$-función medible$f$, integrable wrt$P_0$y por lo tanto$P$, satisfaciendo i) y ii). Billingsley luego etiqueta$f:=P[A\|\mathscr{G}]$(nota: la definición anterior utiliza$P$no$P_0$creo que desde$\operatorname{v}(G)=\int_G f \, dP=\int_G f \, dP_0$para todos$G\in\mathscr{G}$).

Mi pregunta es por qué el teorema de Radon-Nikodym garantiza que$f$es una probabilidad, ya que, por lo que puedo decir, solo garantiza que no es negativa? Puedo ver eso$f$es una variable aleatoria con fuente espacio de probabilidad$(\Omega,\mathscr{F},P_0)$y espacio objetivo$(\mathbb{R},\mathscr{R},\mu)$dónde$\mu$es la distribución de$f$satisfactorio$\mu(A)=P_0[f\in A]$para todos$A\in\mathscr{R}$, pero eso no significa$f$siempre miente en$[0,1]$y así se puede considerar una probabilidad?