Cuestiones conceptuales en la medida Prueba teórica de expectativas condicionales (a través de Radon-Nikodym)

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Cuestiones conceptuales en la medida Prueba teórica de expectativas condicionales (a través de Radon-Nikodym)

Matemáticas
radón-nikodim
teoría de la medida
teoría de probabilidad
funciones-medibles
expectativa condicional

esPrimeTime

He estado investigando la teoría de la medida (desde la perspectiva de un probabilista), y he encontrado que la prueba de la existencia de la expectativa condicional se siente un poco "pasada por alto" en la literatura. Como tal, he tratado de desglosar los pasos muy, muy lentamente , y como resultado tengo tres preguntas relacionadas con lo que se siente como "problemas conceptuales".

Primero mostraré cómo desarrollaría lentamente la prueba (corríjame si me equivoco), lo que luego conducirá a las preguntas al final:

Paso 1: establecer el espacio de probabilidad: $(\Omega, \Sigma, \mathbb{P})$ . Considere un $\Sigma$ -variable aleatoria medible (RV), sobre este espacio como $X$ (que funcionaría por ejemplo como: $X: \Omega \rightarrow \mathbb{R}$ )

Paso 2: Definir sub $\sigma$ -álgebra: $\mathcal{G}\subset \Sigma$ , lo que resulta en un espacio medible: $(\Omega, \mathcal{G})$ .

Paso 3: Definir una medida, $\nu$ , en $(\Omega, \mathcal{G})$ . Esta medida debe comportarse como:

\begin{aligned} v (GRAMO) = \int_{GRAMO} X d PAG = \int_{Ω} X 1_{GRAMO} d PAG = mi [X 1_{GRAMO}], \forall GRAMO \in GRAMO . \end{aligned}

$\begin{align*} \nu(G) = \int_G X d\mathbb{P} = \int_{\Omega}X\mathbf{1}_{G} d\mathbb{P}=\mathbb{E}[X\mathbf{1}_{G}], \quad \forall G\in\mathcal{G}. \end{align*}$

Paso 4: Considere ahora la medida de probabilidad restringida, $\mathbb{P}^{\mathcal{G}}$ , restringida al espacio medible, $(\Omega, \mathcal{G})$ , tal que $\mathbb{P}(G) = \mathbb{P}^{\mathcal{G}}(G)$ , $\forall G\in\mathcal{G}$ . Por lo tanto, ahora estamos considerando trabajar el espacio de probabilidad: $(\Omega, \mathcal{G},\mathbb{P}^{\mathcal{G}})$ .

Paso 5: Por construcción $\nu \ll \mathbb{P}^{\mathcal{G}}$ . Así podemos invocar Radon-Nikodym, lo que significa que hay un único (como), $\mathcal{G}$ -función medible, $Z$ , calle

\begin{aligned} v (GRAMO) = \int_{GRAMO} Z d {PAG}^{GRAMO} = \int_{Ω} Z 1_{GRAMO} d {PAG}^{GRAMO} = mi [Z 1_{GRAMO}], \forall GRAMO \in GRAMO . \end{aligned}

$\begin{align*} \nu(G) = \int_G Z d\mathbb{P}^{\mathcal{G}} = \int_{\Omega} Z \mathbf{1}_{G} d\mathbb{P}^{\mathcal{G}} = \mathbb{E}[Z\mathbf{1}_{G}], \quad \forall G\in\mathcal{G}. \end{align*}$

Paso 6: Podemos así concluir las siguientes relaciones:

\begin{aligned} mi [X 1_{GRAMO}] = v (GRAMO) = \int_{Ω} Z 1_{GRAMO} d {PAG}^{GRAMO} = mi [Z 1_{GRAMO}] \end{aligned}

$\begin{align*} E[X\mathbf{1}_G] = \nu(G) = \int_{\Omega} Z\mathbf{1}_G d\mathbb{P}^{\mathcal{G}} = \mathbb{E}[Z\mathbf{1}_{G}] \end{align*}$

La importancia de esto es que el LHS es un $\Sigma$ -RV medible, y en el RHS es un $\mathcal{G}$ -RV medible. Además, $X=Z$ (como) como por Radon-Nikodym $Z$ es único (como).

Preguntas:

P1: Por lo que puedo decir, esta es la prueba de existencia de la expectativa condicional. Sin embargo, para mí no es inmediatamente obvio por qué esta debería ser la expectativa condicional. Parece que los autores simplemente hacen una afirmación al final:

Por lo tanto, $Z=\mathbb{E}[X\mid \mathcal{G}]$ ...

Sin embargo, no entiendo por qué es eso? Especialmente porque $\mathbb{E}[\cdot]$ me parece que no es solo una "cuestión de notación", porque $\mathbb{E}[X] = \int Xd\mathbb{P}$ tiene una definición muy precisa! Así que si declaramos, $Z=\mathbb{E}[X\mid \mathcal{G}]$ , parece que la definición de $\nu(G)$ debe consistir en una integral iterada.

P2: En la larga lista de igualdades en el Paso 6, por lo que concluimos $\mathbb{E}[X\mathbf{1}_G]=\mathbb{E}[Z\mathbf{1}_G]$ , ¿la expectativa es la misma medida de probabilidad? es decir, es $\mathbb{P}$ ¿a ambos lados? O $\mathbb{P}$ En el caso de $\mathbb{E}[X\mathbf{1}_G]$ , y $\mathbb{P}^{\mathcal{G}}$ En el caso de $\mathbb{E}[Z\mathbf{1}_{G}]$ ... o simplemente no importa? En este caso, he visto que diferentes autores tienen puntos de vista contradictorios, y no estoy seguro si es un tema importante o simplemente un error de transcripción.

P3: ¿Cuál es el significado de que $X$ es $\Sigma$ -medible, y $Z$ es $\mathcal{G}$ -¿mensurable? Escribí antes que "es una conclusión significativa", pero no tengo una intuición de por qué este es un concepto tan importante.

Respuestas (2)

Cuestiones conceptuales en la medida Prueba teórica de expectativas condicionales (a través de Radon-Nikodym)

usuario140541 · Answer 1

usuario140541

Típicamente, estos autores dan la definición de expectativas condicionales antes de mostrar su existencia. En concreto, se define $\mathsf{E}[X\mid \mathcal{G}]$ como un (yo) $\mathcal{G}$ -variable aleatoria medible $Z$ st (ii) $\mathsf{E}[X1_G]=\mathsf{E}[Z1_G]$ para cada $G\in\mathcal{G}$ . El teorema RN implica que tal variable aleatoria existe. De hecho, es la derivada RN de $\nu$ bien $\mathsf{P}$ .
no importa porque $Z1_G$ es $\mathcal{G}$ -mensurable.
La importancia es que, en general, no podemos tomar $Z=X$ (satisface (ii) trivialmente, pero $X$ no es necesariamente $\mathcal{G}$ -mensurable).

esPrimeTime

1. ¿Debería estar interpretando?

E [X ∣ G]

$\mathsf{E}[X\mid \mathcal{G}]$ a través de una integral según la definición de

E [X] = \int X d P

$\mathsf{E}[X] = \int X d\mathbb{P}$ ? Puedo "obtenerlo" como una función medible, pero no me siento cómodo con el uso de "

E [\cdot]

$\mathsf{E}[\cdot]$ " para ser utilizado como una "función", cuando

E [\cdot]

$\mathsf{E}[\cdot]$ es como un funcional. Es confuso para mí. 2. Gracias 3. ¿Podría proporcionar un pequeño ejemplo para "

X

$X$ no es necesariamente G-medible"? Entonces, ¿significa esto que, en general, la expectativa condicional no existe (dependiendo de nuestra elección de

X

$X$ )?

usuario140541

1. Es solo una cuestión de notación (aceptada). Puedes interpretar

E [X ∣ G]

$\mathsf{E}[X\mid\mathcal{G}]$ a través de una integral, es decir,

E [X ∣ G] (ω) = \int X (ω^{'}) P (d ω^{'} ∣ G) (ω)

$\mathsf{E}[X\mid\mathcal{G}](\omega)=\int X(\omega')\mathsf{P}(d\omega'\mid\mathcal{G})(\omega)$ , dónde

P (\cdot ∣ G)

$\mathsf{P}(\cdot\mid\mathcal{G})$ es la probabilidad condicional expresada

G

$\mathcal{G}$ .

usuario140541

3. Toma cualquier variable aleatoria

X

$X$ y establecer

G := σ (| X |)

$\mathcal{G}:=\sigma(|X|)$ . A menos que

X \geq 0

$X\ge 0$ ,

σ (X) \supset σ (| X |)

$\sigma(X)\supset \sigma(|X|)$ .

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Hasta donde yo sé, las probabilidades condicionales (regulares)

P (d ω^{'} | G)

$\mathrm{P}(d\omega'|\mathcal{G})$ no necesariamente existen. Si el codominio de

X

$X$ es agradable, por ejemplo, un espacio de Borel, entonces podemos definir

E [X | G] (ω) = \int_{Ω_{X}} x P_{X} (d x | G) (ω)

$\mathrm{E}[X|\mathcal{G}](\omega)=\int_{\Omega_X} x \mathrm{P}_X(d x|\mathcal{G})(\omega)$ , dónde

P_{X} (\cdot | G)

$\mathrm{P}_X(\cdot |\mathcal{G})$ es una distribución condicional regular, que existe en espacios agradables

(Ω_{X}, Σ_{X})

$(\Omega_X, \Sigma_X)$ . PD

P_{X} (\cdot | G) (ω)

$\mathrm{P}_X(\cdot |\mathcal{G})(\omega)$ es el "lote completo de" medidas, indexadas por

ω

$\omega$ , a lo que pensé que se refería @bs_math.

bs_matemáticas · Answer 2

En primer lugar, no es cierto que $X$ es casi seguro igual a $Y = \mathbb{E}[X | \mathcal{G}]$ . Técnicamente, esto no se sigue de la unicidad en el teorema de Radon-Nikodym porque Radon-Nikodym da un único $\mathcal{G}$ -variable aleatoria medible $Y$ con $\nu(G) = \int_G Y d\mathbb{P}^G$ pero $X$ generalmente no es $\mathcal{G}$ -mensurable. De lo contrario, se perdería todo el sentido de la expectativa condicional. Por ejemplo, deja $\mathcal{G} = \{ \emptyset, \Omega\}$ . Entonces $Y = \mathbb{E}X$ es constante pero $X$ obviamente no necesita ser constante, también.

P1 : La expectativa condicional de $X$ con respecto a un $\sigma$ -álgebra $\mathcal{G}$ se define como lo esencialmente único $\mathcal{G}$ -variable aleatoria medible $Y$ tal que por cada $G \in \mathcal{G}$ es

{mi}_{PAG} X 1_{gramo} = {mi}_{{PAG}^{GRAMO}} Y 1_{GRAMO} .

$\mathbb{E}_\mathbb{P} \, X 1_g = \mathbb{E}_{\mathbb{P}^\mathcal{G}} \, Y 1_G.$ Eso es exactamente lo que has mostrado.

P2 : en la respuesta a P1, utilicé una notación que indica que en el lado derecho de la ecuación, la expectativa se toma con la probabilidad restringida $\mathbb{P}^\mathcal{G}$ y en el LHS wrt $\mathbb{P}$ . Esto aclara que en el lado derecho $Y$ es $\mathcal{G}$ -medible, pero no importa si integra wrt a $\mathbb{P}$ o $\mathbb{P}^\mathcal{G}$ . Para $\mathcal{G}$ -funciones simples medibles de la forma $\sum_{i=1}^n \alpha_i 1_{G_i}$ es claro que las expectativas para las diferentes medidas son iguales y esto se extiende a funciones medibles arbitrarias.

P3 : Eso $Y$ es $\mathcal{G}$ -medible y $X$ es $\Sigma$ -Mesurable es el punto central de la expectativa condicional. En una aplicación, el subyacente $\sigma$ -álgebra representa la información disponible en la forma en que los conjuntos en el $\sigma$ -álgebra son aquellas que puedo distinguir con la información que tengo a mano. Admito que intuitivamente no está claro en qué sentido un $\sigma$ -el álgebra representa información. Sin embargo, tal vez quede claro en una situación especial con el criterio de mensurabilidad de Doob :

(Doob) Deja $(\Omega, \mathcal{F})$ y $(E, \mathcal{E})$ ser espacios medibles, $X: \Omega \rightarrow E$ , y supongamos que $\mathcal{F}$ es el $\sigma$ -álgebra generada por $X$ , es decir $\mathcal{F }= X^{-1}(\mathcal{E})$ . Entonces cualquier $\mathcal{F}$ -variable aleatoria medible $Y: \Omega \rightarrow \mathbb{R}$ Se puede escribir como
$Y = gramo \circ X$ $Y = g \circ X$ para alguna función medible $g: E \rightarrow \mathbb{R}$ .

Entonces, suponga que su $\sigma$ -álgebra $\mathcal{G}$ en realidad es generado por alguna variable aleatoria $Z$ . Entonces $\mathcal{G}$ representa la información que tengo si sé el valor de $Z$ . Desde $Y = \mathcal{E}[X | \mathcal{G}]$ es $\mathcal{G}$ -Doob medible da una función medible $g$ tal que

Y = gramo \circ Z .

$Y = g \circ Z.$ esa funcion

g

$g$ permite configurar el valor conocido de

Z

$Z$ para obtener el valor esperado de

Y

$Y$ dada esta información.

Muchas gracias por tu respuesta. ¡Es uno muy detallado y agradable de hecho! Solo tengo un último problema en mente, y tiene que ver con el uso notacional de $\mathbb{E}[X\mid \mathcal{G}]$ . Normalmente definimos $\mathbb{E}[\cdot]$ , como $\mathbb{E}[X]=\int_{\Omega} X d\mathbb{P}$ . En este caso se comporta como un funcional. Sin embargo, $\mathbb{E}[X\mid \mathcal{G}]$ es una función medible, aunque el uso de $\mathbb{E}[\cdot]$ me llevaría a pensar en integrales/funcionales. Por lo tanto, ¿hay un trasfondo integral al considerar $\mathbb{E}[X\mid \mathcal{G}]$ ?
La notación puede ser engañosa. $\mathbb{E}[ \cdot]$ y $\mathbb{E}[\cdot | \mathcal{G}]$ son dos cosas diferentes. Sin embargo, al observar la definición de la expectativa condicional, seguramente hay una integral detrás de escena (¡o más bien una gran parte de ella!). Sin embargo, la expectativa y la expectativa condicional sólo coinciden cuando $\mathcal{G}= \{ \emptyset, \Omega\}$ .
Wow, ¿podría ampliar brevemente este punto: "¡o más bien mucho!" Honestamente, cuando sigo la prueba y considero trabajar con $\mathcal{G}$ -mensurable $Z$ , no veo por qué debería surgir otra integral (aparte de la externa que se usa para definir $\nu(G)$ ). ¡Gracias!
Me referí a la definición de la expectativa condicional. Ahí, exiges que la integral de $X$ y la integral de $Y$ coincidir en cada $\mathcal{G}$ -conjunto medible. Entonces, en este sentido hay muchas integrales involucradas, a saber $| \mathcal{G} |$ -muchos. Pero, sinceramente, no me esforzaría demasiado en conectar la expectativa condicional con ninguna integral. En primer lugar, la expectativa condicional es una forma de hacer que una variable aleatoria sea más gruesa de modo que sea medible con un tamaño más pequeño. $\sigma$ -álgebra.

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