Generalizando el Lema de Scheffe usando solo Convergencia en Probabilidad

Question

Generalizando el Lema de Scheffe usando solo Convergencia en Probabilidad

integración
Matemáticas
análisis real
teoría de la medida
teoría de probabilidad

Félix B.

Pensé en esta pregunta recientemente, porque accidentalmente formulamos este lema con convergencia en probabilidad en lugar de la habitual convergencia casi segura como ejercicio. La demostración habitual con el lema de Fatou no funciona en este caso.

Resulta que de hecho puedes generalizar el lema de Scheffe a lo siguiente

Lema de Scheffe generalizado

Asumir que $(X_n)_{n\in\mathbb{N}}\subset L^1$ converge en probabilidad a $X_\infty\in L^1$ . Entonces las siguientes afirmaciones son equivalentes:

$\mathbb{E}[|X_{n}|]\to \mathbb{E}[|X_{\infty}|]<\infty$ , como $n\to \infty$ .
Para todos $\epsilon>0$ tenemos $\limsup_{n\to\infty} \mathbb{E}[|X_n|\mathbb{1}_{|X_\infty-X_n|> \epsilon}] \le \epsilon$
$\{X_\infty, X_1, X_2,\dots\}$ son uniformemente integrables
$X_n\to X_{\infty}$ en $L^1$ , como $n\to \infty$

No estoy seguro de si este resultado es nuevo (probablemente no), pero quería que fuera más fácil de encontrar. Así que aquí hay una prueba.

Masón

La convergencia en versión de probabilidad se deduce fácilmente de la convergencia como versión utilizando el "principio de subsecuencia de Uryshonn" y el hecho de que la convergencia en probabilidad implica la convergencia de una subsecuencia como. También tenga en cuenta que la equivalencia de 1 y 4 es un caso especial de la DCT generalizada.

Félix B.

@Mason, seguro que obtienes una convergencia de forma de subsecuencia convergente en probabilidad, que luego también converge en

L^{1}

$L^1$ , pero no es obvio cómo se puede deducir que toda la secuencia converge en

L^{1}

$L^1$ a partir de ese. Para que la DCT funcione, necesita una convergencia casi segura, porque el límite puntual dentro de la integral no está definido correctamente, que yo sepa.

Masón

He agregado una respuesta para ilustrar el uso del principio de subsecuencia de Uryshon. En cuanto a la DCT generalizada, también funciona cuando la sucesión converge en medida. ya estas dado

X_{\infty}

$X_{\infty}$ como límite en la medida; la DCT generalizada le permite concluir la convergencia en

L^{1}

$L^1$ .

Respuestas (2)

Generalizando el Lema de Scheffe usando solo Convergencia en Probabilidad

La convergencia en versión de probabilidad se deduce fácilmente de la convergencia como versión utilizando el "principio de subsecuencia de Uryshonn" y el hecho de que la convergencia en probabilidad implica la convergencia de una subsecuencia como. También tenga en cuenta que la equivalencia de 1 y 4 es un caso especial de la DCT generalizada.
@Mason, seguro que obtienes una convergencia de forma de subsecuencia convergente en probabilidad, que luego también converge en $L^1$ , pero no es obvio cómo se puede deducir que toda la secuencia converge en $L^1$ a partir de ese. Para que la DCT funcione, necesita una convergencia casi segura, porque el límite puntual dentro de la integral no está definido correctamente, que yo sepa.
He agregado una respuesta para ilustrar el uso del principio de subsecuencia de Uryshon. En cuanto a la DCT generalizada, también funciona cuando la sucesión converge en medida. ya estas dado $X_{\infty}$ como límite en la medida; la DCT generalizada le permite concluir la convergencia en $L^1$ .

Félix B. · Answer 1

Prueba

(i) $\Rightarrow$ (ii): Arreglar $\epsilon>0$ y elige cualquiera $\eta>0$ . Entonces existe $n_0\in\mathbb{N}$ tal que

\begin{aligned} mi [| X_{norte} |] - mi [| X_{\infty} |] \leq \frac{η}{2} \forall norte \geq {norte}_{0} . \end{aligned}

$\begin{align}\label{generalized scheffe (i)->(ii)1} \mathbb{E}[|X_n|] - \mathbb{E}[|X_\infty|] \le \tfrac{\eta}2 \quad \forall n\ge n_0. \end{align}$

Desde $\{X_\infty\}$ es uniformemente integrable, existe $\delta(\eta)>0$ tal que

\begin{aligned} mi [| X_{\infty} | 1_{A}] \leq \frac{η}{2} \forall A \in A : PAG (A) < d (η) . \end{aligned}

$\begin{align*} \mathbb{E}[|X_\infty| 1_{A}] \le \tfrac\eta2 \quad \forall A\in\mathcal{A} : \mathbb{P}(A) < \delta(\eta). \end{align*}$ Desde

X_{n} \to X_{\infty}

$X_n\to X_\infty$ en probabilidad, por lo tanto existe

n_{1} \in N

$n_1\in\mathbb{N}$ tal que para todos

n \geq n_{1}

$n\ge n_1$

\begin{aligned} PAG (| X_{\infty} - X_{norte} | > ϵ) \leq d (η) ⟹ mi [| X_{\infty} | 1_{| X_{\infty} - X_{norte} | > ϵ}] \leq \frac{η}{2} \end{aligned}

$\begin{align}\label{generalized scheffe (i)->(ii)2} \mathbb{P}(|X_\infty - X_n| > \epsilon) \le \delta(\eta) \implies \mathbb{E}[|X_\infty| 1_{|X_\infty - X_n| > \epsilon}] \le \tfrac\eta2 \end{align}$ Ahora conectamos las cosas juntas. tenemos para

n \geq max {n_{0}, n_{1}}

$n\ge\max\{n_0, n_1\}$

\begin{aligned} mi [| X_{norte} | 1_{| X_{\infty} - X_{norte} | > ϵ}] & = mi [| X_{norte} |] - mi [| X_{norte} | 1_{| X_{\infty} - X_{norte} | \leq ϵ}] \\ = \underset{\leq \frac{η}{2}}{\underset{⏟}{mi [| X_{norte} |] - mi [| X_{\infty} |]}} + \underset{\begin{aligned} \leq mi [| X_{\infty} - X_{norte} | 1_{| X_{\infty} - X_{norte} | \leq ϵ}] \\ \leq ϵ \end{aligned}}{\underset{⏟}{mi [(| X_{\infty} | - | X_{norte} |) 1_{| X_{\infty} - X_{norte} | \leq ϵ}]}} + \underset{\leq \frac{η}{2}}{\underset{⏟}{mi [| X_{\infty} | 1_{| X_{\infty} - X_{norte} | > ϵ}]}} \end{aligned}

$\begin{align*} \mathbb{E}[|X_n| 1_{|X_\infty-X_n|>\epsilon}] &= \mathbb{E}[|X_n|] - \mathbb{E}[|X_n| 1_{|X_\infty-X_n|\le\epsilon}]\\ &= \underbrace{\mathbb{E}[|X_n|] - \mathbb{E}[|X_\infty|]}_{ \le \tfrac\eta2 } + \underbrace{ \mathbb{E}[(|X_\infty| - |X_n|)1_{|X_\infty-X_n|\le\epsilon}] }_{ \begin{aligned} &\le \mathbb{E}[|X_\infty - X_n|1_{|X_\infty-X_n|\le\epsilon}]\\ &\le \epsilon \end{aligned} } + \underbrace{\mathbb{E}[|X_\infty|1_{|X_\infty-X_n|>\epsilon}]}_{ \le \tfrac\eta2 } \end{align*}$ Esto implica el reclamo. La primera suma explota el hecho de que la masa de las variables aleatorias tiene que ser similar. Entonces no podemos concentrar la masa en un pequeño evento como

X_{n}

$X_n$ estando lejos de

X_{\infty}

$X_\infty$ . ¿Cuál es qué ejemplos de convergencia en probabilidad sin

L^{1}

$L^1$ explotación de la convergencia.

(ii) $\Rightarrow$ (iii): Queremos mostrar

\begin{aligned} \underset{METRO \to \infty}{límite} \underset{norte}{sorber} mi [| X_{norte} | 1_{| X_{norte} | > METRO}] = 0. \end{aligned}

$\begin{align*} \lim_{M\to\infty} \sup_n \mathbb{E}[|X_n|1_{|X_n|> M}] = 0. \end{align*}$ Así que arregla algo

δ > 0

$\delta>0$ . Seleccionamos

ϵ := \frac{δ}{4}

$\epsilon := \tfrac\delta4$ y luego seleccione

n_{0} \in N

$n_0\in\mathbb{N}$ tal que para todos

n \geq n_{0}

$n\ge n_0$ tenemos

\begin{aligned} mi [| X_{norte} | 1_{| X_{\infty} - X_{norte} | > ϵ}] \leq ϵ + \frac{d}{4} . \end{aligned}

$\begin{align}\label{convergence ui} \mathbb{E}[|X_n|1_{|X_\infty - X_n| > \epsilon}] \le \epsilon + \tfrac\delta4. \end{align}$ Como

{X_{1}, \dots, X_{n_{0}}}

$\{X_1, \dots, X_{n_0}\}$ es un conjunto finito, es uniformemente integrable y existe

M_{0}

$M_0$ tal que

\begin{aligned} \underset{0 \leq norte \leq {norte}_{0}}{sorber} mi [| X_{norte} | 1_{| X_{norte} | > METRO}] \leq d \forall METRO \geq {METRO}_{0} . \end{aligned}

$\begin{align}\label{finite case} \sup_{0\le n\le n_0} \mathbb{E}[|X_n| 1_{|X_n| > M}] \le \delta \quad \forall M\ge M_0. \end{align}$ Del mismo modo existe

M_{1}

$M_1$ , tal que

\begin{aligned} mi [| X_{\infty} | 1_{| X_{\infty} | > METRO - ϵ}] \leq \frac{d}{4} \forall METRO \geq {METRO}_{1} \end{aligned}

$\begin{align}\label{X_infty is ui} \mathbb{E}[|X_\infty| 1_{|X_\infty|>M-\epsilon}] \le \tfrac\delta4 \quad \forall M\ge M_1 \end{align}$ Para poner las cosas juntas, tenga en cuenta que siempre tenemos

\begin{aligned} 1_{| X_{norte} | > METRO} \leq 1_{| X_{\infty} - X_{norte} | > ϵ} + 1_{| X_{\infty} | > METRO - ϵ} 1_{| X_{\infty} - X_{norte} | \leq ϵ} . \end{aligned}

$\begin{align}\label{indicator functions} 1_{|X_n| > M} \le 1_{|X_\infty - X_n| > \epsilon} + 1_{|X_\infty|>M-\epsilon}1_{|X_\infty-X_n|\le \epsilon}. \end{align}$ Esto implica para todos

M \geq max {M_{0}, M_{1}}

$M\ge \max\{M_0, M_1\}$

\begin{aligned} \underset{norte \in norte}{sorber} mi [| X_{norte} | 1_{| X_{norte} | > METRO}] \\ \leq máximo {\underset{\leq d}{\underset{⏟}{\underset{0 \leq norte \leq {norte}_{0}}{sorber} mi [| X_{norte} | 1_{| X_{norte} | > METRO}]}}, \underset{norte \geq {norte}_{0}}{sorber} \underset{\leq \frac{d}{2}}{\underset{⏟}{mi [| X_{norte} | 1_{| X_{\infty} - X_{norte} | > ϵ}]}} + \underset{\begin{aligned} \leq mi [| X_{\infty} | 1_{| X_{\infty} | > METRO - ϵ}] + ϵ \\ \leq \frac{d}{2} \end{aligned}}{\underset{⏟}{mi [| X_{norte} | 1_{| X_{\infty} | > METRO - ϵ} 1_{| X_{\infty} - X_{norte} | \leq ϵ}]}}} \end{aligned}

$\begin{align*} &\sup_{n\in\mathbb{N}} \mathbb{E}[|X_n| 1_{|X_n| > M}]\\ &\le \max\Big\{ \underbrace{\sup_{0\le n\le n_0} \mathbb{E}[|X_n| 1_{|X_n| > M}]}_{\le \delta}, \sup_{n\ge n_0} \underbrace{\mathbb{E}[|X_n| 1_{|X_\infty - X_n|>\epsilon}]}_{ \le \tfrac\delta2 } + \underbrace{\mathbb{E}[|X_n| 1_{|X_\infty|>M-\epsilon}1_{|X_\infty - X_n|\le\epsilon}]}_{ \begin{aligned} &\le \mathbb{E}[|X_\infty| 1_{|X_\infty|>M-\epsilon}] + \epsilon\\ &\le \tfrac\delta2 \end{aligned} } \Big\} \end{align*}$

(iii) $\Rightarrow$ (iv): arreglar algunos $\epsilon >0$ , entonces debido a la integrabilidad uniforme existe alguna $\delta >0$ , tal que $\mathbb{P}(A)<\delta$ implica para todos $n$

\begin{aligned} mi [| X_{norte} | 1_{A}] \leq ϵ y mi [| X_{\infty} | 1_{A}] \leq ϵ . \end{aligned}

$\begin{align}\label{ui result} \mathbb{E}[|X_n| 1_{A}] \le \epsilon \quad \text{and}\quad \mathbb{E}[|X_\infty|1_{A}] \le \epsilon. \end{align}$ ahora elegimos

n_{0} \in N

$n_0\in \mathbb{N}$ tal que

\begin{aligned} PAG (| X_{\infty} - X_{norte} | > ϵ) \leq d \forall norte \geq {norte}_{0} . \end{aligned}

$\begin{align*} \mathbb{P}(|X_\infty - X_n| > \epsilon) \le \delta \quad \forall n\ge n_0. \end{align*}$
Con el resultado anterior, esto implica para todos

n \geq n_{0}

$n\ge n_0$

\begin{aligned} mi [| X_{\infty} - X_{norte} |] \leq \underset{\leq ϵ}{\underset{⏟}{mi [| X_{\infty} - X_{norte} | 1_{| X_{\infty} - X_{norte} | \leq ϵ}]}} + \underset{\leq ϵ}{\underset{⏟}{mi [| X_{\infty} | 1_{| X_{\infty} - X_{norte} | > ϵ}]}} + \underset{\leq ϵ}{\underset{⏟}{mi [| X_{norte} | 1_{| X_{\infty} - X_{norte} | > ϵ}]}} \end{aligned}

$\begin{align*} \mathbb{E}[|X_\infty - X_n|] \le \underbrace{\mathbb{E}[|X_\infty - X_n|1_{|X_\infty - X_n|\le \epsilon}]}_{\le \epsilon} + \underbrace{ \mathbb{E}[|X_\infty| 1_{|X_\infty - X_n| > \epsilon}] }_{\le \epsilon} + \underbrace{ \mathbb{E}[|X_n| 1_{|X_\infty - X_n| > \epsilon}] }_{\le \epsilon} \end{align*}$

(iv) $\Rightarrow$ (i): Esto finalmente se sigue de la desigualdad del triángulo inverso

\begin{aligned} | | X | - | y | | \leq | X - y |, \end{aligned}

$\begin{align}\label{generalized scheffe: reverse triangle inequality} \big\lvert|x|-|y|\big\rvert\le |x-y|, \end{align}$ y la desigualdad de Jensen

\begin{aligned} | mi [| X_{norte} |] - mi [| X_{\infty} |] | & = | mi [| X_{norte} | - | X_{\infty} |] | \\ \leq mi [| | X_{norte} | - | X_{\infty} | |] \\ \leq mi [| X_{norte} - X_{\infty} |] \to 0, (norte \to \infty) . \end{aligned}

$\begin{align*} \big\lvert \mathbb{E}\big[\lvert X_n \rvert\big] - \mathbb{E}\big[\lvert X_{\infty}\rvert\big] \big\rvert &= \big\lvert \mathbb{E}\big[\lvert X_n \rvert- \lvert X_{\infty}\rvert\big] \big\rvert\\ &\le \mathbb{E}\big[ \big\lvert \lvert X_n\rvert - \lvert X_{\infty}\rvert \big\rvert\big]\\ &\le \mathbb{E}\big[\lvert X_n - X_{\infty}\rvert\big] \to 0, \; (n \to \infty). \end{align*}$

Estoy muy contento de que hayas decidido compartir esto con la comunidad. +1

Masón · Answer 2

Demostraré cómo mostrar 1 implica 4 solo usando la versión as de este teorema. Suponer $E(|X_n|) \to E(|X_\infty|)$ . Dejar $(X_{n_k})$ ser una subsecuencia arbitraria de $(X_n)$ . Desde $X_{n_k} \to X_{\infty}$ en probabilidad, hay una subsecuencia $(X_{{n_k}_j})$ tal que $X_{{n_k}_j} \to X_{\infty}$ como Desde $E(|X_{{n_k}_j}|) \to E(|X_{\infty}|)$ , la versión as del teorema implica que $X_{{n_k}_j} \to X_{\infty}$ en $L^1$ . Desde $X_{n_k}$ era una subsecuencia arbitraria, el principio de subsecuencia de Urysohn produce $X_n \to X_{\infty}$ en $L^1$ .

Tenga en cuenta que la implicación 1 $\implies$ 4 es un caso especial de la DCT generalizada, que se cumple en un espacio de medida arbitraria. La DCT generalizada a menudo se establece para secuencias que convergen ae, pero mediante argumentos de subsecuencia similares a los anteriores también se puede demostrar que se cumple para secuencias que convergen en medida.

¿Qué es el principio de subsecuencia de uryshonn? Supuse que era el hecho de que puedes seleccionar una subsecuencia de una secuencia que converge en probabilidad. Pero no parece ser eso. Google no arroja nada útil. Lo mismo para esta DCT generalizada. No tengo idea de a qué te refieres, así que no puedo juzgar si esta respuesta tiene sentido.
@FelixB. El principio de subsecuencia dice que si $(a_n)$ es una sucesión en un espacio topológico $X$ y $a \in X$ , entonces $a_n \to a$ si y solo si cada subsecuencia de $(a_n)$ tiene otra subsecuencia que converge a $a$ . La demostración es fácil: si $a_n \not\to a$ , entonces hay algún barrio $U$ de $a$ tal que $(a_n)$ no está finalmente en $U$ . Así podemos construir una subsecuencia $(a_{n_k})$ con $a_{n_k} \notin U$ para todos $k$ .
@FelixB. La DCT generalizada dice que si $f_n \in L^1$ y $f_n \to f$ ae y $|f_n| \leq g_n \in L^1$ y $g_n \to g \in L^1$ ae y $\int g_n \to \int g$ , entonces $f_n \to f$ en $L^1$ . En mi respuesta digo que podemos usar el principio de subsecuencia para probar la DCT generalizada para $f_n \to f$ en medida en lugar de ae

Generalizando el Lema de Scheffe usando solo Convergencia en Probabilidad

Félix B.

Lema de Scheffe generalizado

Masón

Félix B.

Masón

Respuestas (2)

Félix B.

Prueba

Alcaudón

Masón

Félix B.

Masón

Masón

Félix B.

Prueba alternativa del teorema de la convergencia dominada aplicando el lema de Fatou a 2g−|fn−f|2g−|fn−f|2g - |f_n - f|?

¿Cómo puedo usar el Teorema de Fubini aquí?

Cuando es una secuencia (Pn)n∈N(Pn)n∈N(P_n)_{n \in \mathbb{N}} de probabilidades uniformemente absolutamente continua con respecto a ∑n2−nPn∑n2−nPn\sum_n 2^ {-n}P_n?

Probar una integral es igual a ∑∞k=11(p+k)2∑k=1∞1(p+k)2\sum_{k=1}^\infty\frac{1}{(p+k) ^2} para p>0p>0p>0.

¿La expectativa condicional siempre tendrá esta "propiedad"? (comprensión/explicación de la expectativa condicional)

Folland: ¿Por qué está bien definida la medida del producto?

¿Se pueden intercambiar el supremo y la integral (teórica de la medida)?

Demostrar una afirmación sobre la variación cuadrática infinita

¿Cuál es la respuesta a ∫cos2xsinxsinx−cosxdx∫cos2⁡xsin⁡xsin⁡x−cos⁡xdx\int \frac{\cos^2x \sin x}{\sin x - \cos x} dx?

Encuentra limn→∞∫10f(x)sin(nx)dxlimn→∞∫01f(x)sin⁡(nx)dx \lim_{n \to \infty} \int_{0}^{1} f(x) \ sin(nx)dx donde fff es continuamente diferenciable sobre [0,1][0,1][0,1]