Cuando es una secuencia (Pn)n∈N(Pn)n∈N(P_n)_{n \in \mathbb{N}} de probabilidades uniformemente absolutamente continua con respecto a ∑n2−nPn∑n2−nPn\sum_n 2^ {-n}P_n?

Por el Ejercicio 10 en Chow y Teicher, Teoría de la Probabilidad, 3ra. ed., p.208, si$(P_n)$es equicontinua desde arriba en$\varnothing$, entonces$(P_n)$es uniformemente absolutamente continua con respecto a$P$(La equicontinuidad de una secuencia de medidas se define en el ejercicio).

Permítame probar primero la afirmación del ejercicio 10 (¿podría verificar detenidamente la demostración usted mismo, ya que puede contener errores?). Dejar$\mu _n, n\geqslant 1$y$\mu$ser medidas sobre un espacio medible. Suponer que$(\mu _n)$es equicontinua desde arriba en$\varnothing$y$(\mu_n)$es absolutamente continua con respecto a$\mu$(es decir,$\mu (A)=0\Rightarrow \mu _n(A)=0$para todos$n$). Usamos un argumento por contradicción. Asumir que$(\mu _n)$no es uniformemente absolutamente continuo con respecto a$\mu$. Entonces, para algunos$\varepsilon>0$existen conjuntos$A_k$tal que

$$\mu (A_k)<k^{-2}$$ y
$$\mu _n(A_k)\geqslant \varepsilon\ (\text{for some $n=n_k$}).$$ Por la primera pantalla, $\sum _k\mu (A_k)<\infty$. Dejar $A=\limsup _kA_k$. Por el lema de Borel-Cantelli, $\mu (A)=0$(Este lema se aplica no solo a medidas de probabilidad sino también a medidas arbitrarias). Desde $\mu _n$es absolutamente continua con respecto a $\mu$, tenemos $\mu _n(A)=0$para todos $n$. si establecemos $B_k=\cup _{m\geqslant k}A_m$, entonces $B_k\downarrow A$y entonces $B_k-A\downarrow \varnothing$. Se sigue por equicontinuidad de $(\mu _n)$desde arriba en $\varnothing$eso $\mu _n(B_k-A)<\varepsilon$para todos $n$y todo lo suficientemente grande $k$. Desde $\mu _n(A_k)\leqslant\mu _n(B_k)=\mu _n(B_k)-\mu _n(A)$, tenemos $$\mu_n(A_k)<\varepsilon$$ para todos $n$y todo lo suficientemente grande $k$, lo que contradice la segunda pantalla.

Volvamos a su problema. Suponer que$(P_n)$es equicontinua desde arriba en$\varnothing$y deja$P=\sum _n2^{-n}P_n$. Desde$P_n$son absolutamente continuas con respecto a$P$, el ejercicio 10 garantiza que$(P_n)$es uniformemente absolutamente continua con respecto a$P$.